Les Mathématiques pour l’Agrégation
Informations sur le document
| Auteur | C. Antonini |
| Spécialité | Mathématiques |
| Année de publication | 2002 |
| Langue | French |
| Nombre de pages | 52 |
| Format | |
| Taille | 364.46 KB |
- Fonctions holomorphes
- Analyse fonctionnelle
- Théorème de Cauchy
Résumé
I.Fonctions holomorphes
Fonctions holomorphes: Elles sont dérivables au sens complexe en tout point d'un ouvert de C. Elles sont notées H(Ω) et forment un anneau. Elles ont des propriétés intéressantes : * Composées deux à deux, elles restent holomorphes. * Les polynômes, l'exponentielle complexe et les séries entières sont holomorphes.
1 Cadre
**Cadre de l'étude des fonctions holomorphes dans un ouvert de C.
2 Généralités
Définition et propriétés des fonctions holomorphes, exemples.
3 Vers le théorème de Cauchy
Intégrale d'une fonction holomorphe le long d'un chemin, indice d'un point par rapport à un chemin.
4 Topologie de H Ω
Topologie de l'espace des fonctions holomorphes sur un ouvert Ω.
5 Zoologie des applications holomorphes
Théorème de Montel, fonctions holomorphes majorées par un polynôme, fonctions holomorphes tendant vers l'infini en l'infini.
II.Vers le théorème de Cauchy
Intégrale le long d'un chemin: Elle est définie pour les fonctions continues sur l'image d'un chemin par morceaux. L'intégrale de la dérivée d'une fonction holomorphe le long d'un chemin fermé est nulle. Indice d'un point: Il mesure le nombre de fois qu'un chemin entoure un point. L'indice d'un point par rapport à un chemin fermé est entier et constant sur chaque composante connexe du complémentaire du chemin. Théorème de Cauchy (cas triangle): Pour une fonction continue sur un convexe et holomorphe sauf en un point, l'intégrale le long d'un triangle dans ce convexe est nulle.
1. Courbes chemins et intégrales
Définition des courbes et chemins. Importance des chemins équivalents. Définition de l'intégrale d'une fonction continue le long d'une courbe.
2. Indice d un point
Définition de l'indice d'un point par rapport à une courbe. Démonstration que l'indice est un entier, constant sur chaque composante connexe et nul sur la composante connexe non bornée.
3. Théorème de Cauchy dans le cas d un triangle dans un convexe
Énoncé du théorème de Cauchy pour une fonction holomorphe sur un ouvert convexe privé d'un point, intégrée le long d'un triangle.
III.Analyse fonctionnelle
Théorème de Hahn-Banach: Il permet d'étendre un fonctionnel linéaire borné défini sur un sous-espace vectoriel à l'espace vectoriel tout entier. Théorème de Baire: Il garantit que l'intersection d'une suite décroissante d'ouverts denses est dense. Théorèmes d'Ascoli: Ils fournissent des conditions suffisantes pour qu'une suite de fonctions Ck soit relativement compacte. Topologie faible: Elle est plus faible que la topologie forte et permet d'étudier des propriétés plus globales des espaces de fonctions. Elle est non métrisable en dimension infinie.
1. Résultats fondamentaux
Théorème de Hahn-Banach: Énonce le théorème de Hahn-Banach pour les espaces vectoriels normés et ses conséquences. Comprend le lemme de Hahn-Banach.Théorème de Baire et ses conséquences: Énonce le théorème de Baire et discute de ses implications, y compris le principe des points fixes de Schauder et le théorème de catégorie de Baire.Autres définitions et propriétés indispensables: Définit les concepts clés d'espace réflexif, espace séparable et base de Schauder.
2. Théorèmes d Ascoli et conséquences
Théorie: Énonce et démontre les théorèmes d'Ascoli et d'Arzelà-Ascoli pour les espaces de fonctions continues.Applications : Discute des applications des théorèmes d'Ascoli, notamment le théorème de Heine-Cantor, le théorème des fonctions implicites et l'existence de solutions pour les équations intégrales.
3. La hiérarchie des C^k Ω avec Ω ouvert de R^n
Définition et propriétés des espaces de différentiabilité C^k(Ω) pour les fonctions définies sur un ouvert Ω de R^n. Comparaison des topologies induites par les normes C^k.
4. La topologie faible
Définition et propriétés de la topologie faible sur les espaces de Banach. Convergence faible et convergence forte.Caractérisation des ensembles faiblement compacts.
5. Liens entre topologie faible et topologie forte
Dimension finie : Montre que la topologie faible et la topologie forte sont équivalentes dans les espaces de dimension finie.Cas général : Discute des différences entre les topologies faible et forte dans les espaces de dimension infinie.
6. Espaces de Hölder
Définition et propriétés des espaces de Hölder Lip^α(Ω) et C^k,α(Ω). Théorème d'interpolation de Whitney.