Analyse 2 : Cours de Mathématiques du DEUG MIAS
Informations sur le document
| Auteur | Maximilian F. Hasler |
| École | Universite Antilles Guyane |
| Spécialité | Mathématiques |
| Année de publication | 2002 |
| Lieu | Schoelcher |
| Type de document | Cours |
| Langue | French |
| Nombre de pages | 33 |
| Format | |
| Taille | 320.71 KB |
- Calcul intégral
- Équations différentielles
- Fonctions équivalentes
Résumé
I.Intégrale de Riemann
L'intégrale de Riemann d'une fonction f sur un intervalle [a, b] est définie comme la limite des sommes de Riemann lorsque le nombre de sous-intervalles tend vers l'infini. Formellement :
∫a^b f(x) dx = lim_(n->∞) ∑_(i=1)^n f(x_i) Δx
où x_i est un point de l'i-ème sous-intervalle [x_(i-1), x_i] et Δx = (b - a) / n est la largeur de chaque sous-intervalle.
1.1.1 Subdivision et sommes de Darboux
Définition 1 : Subdivision d'un intervalle Une subdivision d'ordre n d'un intervalle [a, b] est une partie finie X = { x0, x1, ..., xn } ⊂ [a, b] telle que a = x0 < x1 < · · · < xn−1 < xn = b.
Définition 2 : Sommes de Darboux Les sommes de Darboux inférieure et supérieure de f : [a, b] → R par rapport à une subdivision X = { x0, ..., xn } sont définies par s(f, X) := ∑ni=1 hi inf f(Ii) resp. S(f, X) := ∑ni=1 hi sup f(Ii), où hi = xi − xi−1 est la longueur du ie sous-intervalle Ii = [xi−1, xi].
II.Sommes de Riemann
Les sommes de Riemann sont des approximations de l'intégrale de Riemann. La somme de Riemann inférieure est la somme des aires des rectangles dont les bases sont les sous-intervalles et dont les hauteurs sont les valeurs minimales de f sur chaque sous-intervalle. La somme de Riemann supérieure est la somme des aires des rectangles dont les bases sont les sous-intervalles et dont les hauteurs sont les valeurs maximales de f sur chaque sous-intervalle.
III.Propriétés de l intégrale de Riemann
L'intégrale de Riemann possède plusieurs propriétés fondamentales, notamment :
Linéarité: ∫[a, b] (αf(x) + βg(x)) dx = α∫[a, b] f(x) dx + β∫[a, b] g(x) dx
Monotonie: Si f(x) ≤ g(x) pour tout x ∈ [a, b], alors ∫[a, b] f(x) dx ≤ ∫[a, b] g(x) dx
Additivité: ∫[a, c] f(x) dx = ∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx
IV.Intégrale de Riemann et primitives
L'intégrale de Riemann est étroitement liée à la notion de primitive. Une primitive F(x) d'une fonction f(x) est une fonction dont la dérivée est f(x). En utilisant le théorème fondamental du calcul intégral, on peut établir que :
∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a)
cette formule permet de calculer des intégrales de Riemann en trouvant d'abord une primitive de la fonction.
1.3 Intégrale de Riemann et primitives
Intégrale de primitives
Définition 3 Une fonction F est une primitive de f sur [a, b] si F '(x) = f (x) pour tout x ∈ [a, b].
Théorème 3 Si f est continue sur [a, b], alors f admet une primitive sur [a, b]
Proposition 4 Si F est une primitive de f sur [a, b], alors pour tout a, b ∈ [a, b], on a : $$∫^b_a f (x) { ext{d}}x = F (b) - F (a)$$
V.Pratique du calcul intégral
Le calcul intégral est utilisé pour résoudre de nombreux problèmes d'analyse et de géométrie. Certaines techniques courantes incluent :
Intégration par parties: ∫[a, b] u dv = uv - ∫[a, b] v du
Changement de variable: ∫[a, b] f(g(x)) g'(x) dx
Formule de Taylor avec reste intégral: f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + ... + (f^(n-1))(a)(x - a)^(n-1) + R_n(x)
Formule de la moyenne généralisée: f(x) - f(a) = f'(ξ)(x - a) pour un certain ξ ∈ (a, x)
1. Intégrale indéfinie
L’intégrale indéfinie d’une fonction f est la famille des primitives de f.
2. Primitives des fonctions usuelles
Des formules sont données pour les primitives des fonctions usuelles, comme les puissances, les fonctions exponentielles et trigonométriques.
3. Intégration par parties
Cette technique permet de trouver l’intégrale d’un produit de deux fonctions en utilisant la dérivée de l’une et l’intégrale de l’autre.
4. Formule de Taylor avec reste intégral
Cette formule fournit une approximation d’une fonction à l’aide d’un polynôme et d’un terme d’erreur.
5. Changement de variable d intégration
Cette technique permet de simplifier l’intégration en changeant la variable d’intégration.
6. Formule de la moyenne généralisée
Cette formule exprime la valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle en termes de la valeur de la fonction à un point de l’intervalle.
VI.Intégration de fractions rationnelles décomposition en éléments simples
L'intégration de fractions rationnelles peut être simplifiée en les décomposant en éléments simples. Cela implique de factoriser le dénominateur en facteurs linéaires et quadratiques irréductibles, puis d'exprimer la fraction comme une somme de fractions partielles avec des dénominateurs correspondant à chaque facteur.
1.5.1 Division euclidienne
La division euclidienne de deux polynômes P et Q est donnée par une identité de la forme: P(x)=Q(x)D(x)+R(x), où D(x) est le quotient et R(x) est le reste. Le degré de R(x) est strictement inférieur au degré de Q(x).
1.5.2 Polynômes irréductibles
Un polynôme est irréductible s'il n'est pas le produit de deux polynômes de degré strictement supérieur à 1. Théorème: Tout polynôme P(x) de degré supérieur ou égal à 2 admet une factorisation en facteurs irréductibles dans ℝ[x].
1.5.3 Pôles et éléments simples
Un pôle d'ordre m d'une fonction rationnelle f est une valeur a pour laquelle le dénominateur de f s'annule avec un ordre m, tandis que le numérateur reste non nul. Un élément simple d'ordre m de f est une expression de la forme a/(x-a)m, où a est un pôle d'ordre m de f.
1.5.4 Calcul des coefficients d une décomposition en éléments simples
Méthode des coefficients indéterminés: Pour une fraction rationnelle f(x)=P(x)/Q(x), on cherche des polynômes A(x), B(x),... tels que: f(x)=P(x)/Q(x)=A(x)/(x-a1)^m1+B(x)/(x-a2)^m2+... (**) avec les degrés des polynômes A(x), B(x),... strictement inférieurs aux ordres des pôles correspondants m1, m2,... Méthode des fractions partielles: On décompose le dénominateur Q(x) en facteurs irréductibles, puis on effectue une décomposition en éléments simples en effectuant la division de P(x) par chaque facteur du dénominateur.
1.5.5 Application au calcul de primitives
Intégration par décomposition en éléments simples: Pour une fonction rationnelle f(x), si sa décomposition en éléments simples est donnée par (**), alors sa primitive est donnée par: ∫f(x)dx=∫[A(x)/(x-a1)^m1+B(x)/(x-a2)^m2+...]dx
1.5.6 Primitives des fonctions rationnelles de sin x et cos x
On peut exprimer les primitives des fonctions rationnelles de sin x et cos x à l'aide des fonctions arctangente et arccosinus.
1.5.7 Autres fractions rationnelles
Traitement des fractions rationnelles dont le dénominateur contient des facteurs du second degré (irréductibles dans ℝ).
Référence du document
- Eléments de logique élémentaire
- Calcul dans R
- Suites réelles (convergence, limite, ...)
- Calcul dans C et fonctions circulaires
- Fonctions numériques de la variable réelle