Analyse de la Stabilité et du Contrôle des Systèmes Linéaires à Sauts Aléatoires

La section commence par définir les systèmes linéaires à sauts aléatoires (SLSA) comme une catégorie de systèmes hybrides stochastiques. Ces systèmes sont composés d'un ensemble de systèmes linéaires, appelés modes, entre lesquels des commutations aléatoires ont lieu. Ce processus de commutation est régi par un processus de saut aléatoire, que le document spécifie comme étant inhomogène dans le temps. Cela signifie que les probabilités de transition, ou les taux, entre les différents modes ne sont pas constantes, mais varient au cours du temps. Cette caractéristique des SLSA inhomogènes dans le temps est mise en avant comme une amélioration par rapport aux modèles plus classiques à probabilités de transition constantes, rendant ainsi le modèle plus réaliste et applicable à une plus large gamme de systèmes dynamiques. Le texte souligne l'importance de cette modélisation pour représenter avec précision des systèmes réels soumis à des changements brusques ou des interruptions de communication entre sous-systèmes. Différentes appellations pour les SLSA sont mentionnées dans la littérature, telles que les systèmes de commutation stochastiques, les systèmes stochastiques déterministes par morceaux, ou simplement les systèmes linéaires à sauts. L’introduction met en lumière la polyvalence des SLSA en tant qu'outil de modélisation pour une grande variété de phénomènes dynamiques.

Plusieurs exemples concrets illustrent l'applicabilité des SLSA à différents domaines. Dans le domaine manufacturier, les SLSA permettent de modéliser des systèmes de production sujets à des pannes aléatoires, en minimisant le coût d'inventaire sous une demande constante. Les travaux d'Akella et Kumar (1986) et Gharbi et Kenne (2000) sont cités comme exemples de modélisation MJLS (Markov Jump Linear Systems) dans ce contexte, visant l'optimisation du niveau d'inventaire. Le domaine de l'énergie solaire est également abordé. Une centrale solaire, avec ses héliostats et sa chaudière, est modélisée comme un MJLS pour gérer le débit d'eau d'alimentation en fonction de l'insolation variable. L'alternance entre des phases ensoleillées et nuageuses est représentée par une chaîne de Markov, démontrant l'utilisation des SLSA pour gérer l'incertitude liée aux conditions météorologiques. Enfin, des modèles macroéconomiques, basés sur le modèle multiplicateur-accélérateur de Samuelson, sont mentionnés, soulignant que les transitions entre différents états économiques peuvent être modélisées par des processus de saut, pour une représentation plus réaliste des fluctuations économiques. La variété des exemples met en évidence la flexibilité et le pouvoir prédictif des SLSA dans la modélisation de systèmes dynamiques complexes et sujets à des variations aléatoires.

La section souligne les limites des modèles MJLS homogènes dans le temps, où les probabilités de transition sont constantes. Cette hypothèse est jugée restrictive pour de nombreuses applications réelles. L'exemple des systèmes de production est repris pour illustrer ce point : la probabilité de panne d'un composant dépend de nombreux facteurs (âge, utilisation, etc.), ce qui contredit l'hypothèse d'une probabilité de panne constante. De même, en économie et en finance, l'évolution économique colombienne (Matha et Maria, 2006) ou la fragilité des systèmes bancaires face à une crise (Khallouli et Nabi, 2009) sont modélisées par des chaînes de Markov à probabilités de transition variables. L'analyse des SLSA avec des probabilités de transition variables et dépendantes d'autres facteurs (état, entrée, etc.) est ensuite présentée comme une direction de recherche plus réaliste. L'exemple de la dégradation d'un composant, où le taux de défaillance dépend de son état (usure, contrainte, etc.) à un instant t (Bergman, 1978), ou celui des lignes de cylindres dans un moteur diesel (Giorgio et al., 2010), illustre cette approche. De même, les modèles de changement de régime en finance (Kim et al., 2008) sont cités comme des exemples d’applications où les probabilités de transition dépendent du contexte économique. En résumé, cette section justifie l’étude approfondie des SLSA inhomogènes dans le temps, plus adaptés pour représenter le comportement de systèmes réels.

L'analyse de la stabilité des systèmes linéaires à sauts aléatoires (SLSA) est abordée en distinguant deux types de stabilité : la stabilité du second moment et la stabilité presque sûre. La stabilité presque sûre, bien que plus pertinente en pratique car on observe les trajectoires réelles du système plutôt que ses moments, est difficile à traiter numériquement. La stabilité du second moment, bien que plus restrictive, offre l'avantage de conditions plus facilement vérifiables numériquement. Le document précise que, sous certaines hypothèses, la stabilité du second moment implique la stabilité presque sûre, mais la réciproque n'est pas vraie. L'étude se concentre donc sur la stabilité du second moment, également appelée stabilité en moyenne quadratique (MSS). Des techniques d'exposants de Lyapunov (Feng, 1990 ; Arnold et al., 1986 ; Arnold, 1984 ; Leizarowitz, 1990) sont mentionnées comme permettant d'obtenir des conditions suffisantes et nécessaires pour la stabilité presque sûre, mais leur complexité de calcul est soulignée. Le choix de se focaliser sur la stabilité du second moment permet de privilégier l'obtention de conditions numériquement tractable pour l'analyse et la synthèse de contrôleurs.

Cette section traite de la stabilité du second moment et de la stabilisation des MJLS (Markov Jump Linear Systems) inhomogènes dans le temps discret. L'inhomogénéité se réfère à la nature variable dans le temps de la matrice de probabilité de transition (MPT) du processus de saut sous-jacent, modélisé par une chaîne de Markov à temps discret. La MPT est représentée comme une matrice d'intervalles, chaque probabilité variant dans un intervalle [0, 1]. Cette représentation par intervalles est justifiée par le fait que les probabilités de transition sont généralement estimées avec des erreurs. L'analyse utilise des outils d'analyse d'intervalles, de produits de Kronecker et de théorie des graphes pour fournir une condition suffisante de stabilité du second moment en fonction du rayon spectral d'une matrice définie convenablement. Ce résultat est comparé au cas des chaînes de Markov homogènes (Costa, 2004 ; Fang et Loparo, 2002 ; Ling et Deng, 2012). La difficulté de synthétiser un contrôleur par retour d'état pour la stabilisation est mentionnée, et une condition suffisante sous forme d'inégalités matricielles linéaires (MIL) est donnée pour faciliter la synthèse d'un contrôleur stabilisant en utilisant une représentation enveloppe convexe de la MPT.

La synthèse d'un contrôleur par retour d'état pour la stabilisation est abordée. Les conditions suffisantes de stabilité stochastique et de stabilisation par retour d'état sont comparées aux résultats existants pour les processus de Markov homogènes (Boukas et al., 1999 ; Feng et al., 1992). Le problème de la présence de perturbations externes est considéré. La commande H∞ est présentée comme un outil pertinent pour atténuer l'effet de perturbations d'énergie finie. Un contrôleur par retour d'état H∞ est synthétisé pour un système SDJLS (State-Dependent Jump Linear Systems) sujet à des perturbations externes, garantissant à la fois le rejet de perturbations et la stabilité stochastique. L'approche s'appuie sur les MIL pour obtenir des conditions suffisantes de stabilité et de stabilisation. Les résultats obtenus sont illustrés sur un problème macroéconomique. Pour les SDJLS, les taux de transition du processus de saut dépendent explicitement de la variable d'état, variant selon l'ensemble auquel appartient l'état du système. En utilisant la formule de Dynkin et des formulations de temps d'arrêt, des conditions suffisantes pour la stabilité stochastique et la stabilisation sont obtenues sous forme de MIL.

Cette section introduit le problème central : la commande à horizon glissant (CHG), ou commande prédictive (MPC), appliquée à des systèmes linéaires à sauts aléatoires (SLSA) à temps discret et sous contraintes. Le système considéré est un système SDJLS (State-Dependent Jump Linear System), sujet à des perturbations aléatoires potentiellement non bornées, et à des contraintes probabilistes sur l'état. La nature du système et les contraintes conduisent au choix d'un horizon glissant à un seul pas (one-step receding horizon). La loi de commande CHG est composée d'un retour d'état linéaire (calculé hors ligne) et d'un terme de correction (calculé en ligne). La bornitude en moyenne quadratique de la variable d'état est assurée en résolvant des inégalités matricielles linéaires (MIL) hors ligne. Le problème de CHG est résolu en ligne, après avoir obtenu une représentation traitable du problème. Une première illustration avec un exemple numérique est donnée. La section anticipe le cas où l’état n’est pas parfaitement mesurable, introduisant une complexité supplémentaire traitée dans les sections suivantes.

La section détaille l'approche pour résoudre le problème de CHG. On commence par pré-stabiliser le système en utilisant un retour d'état linéaire, garantissant la bornitude en moyenne quadratique de la variable d'état grâce à la résolution hors ligne d'un problème d'optimisation basé sur les MIL. Cette pré-stabilisation assure une certaine stabilité du système avant d'appliquer la commande CHG. Ensuite, le problème de CHG proprement dit est traité. Il consiste à trouver, à chaque instant, une commande optimale qui minimise une fonction coût quadratique, tout en satisfaisant les contraintes probabilistes sur l'état. Le document souligne la transformation du problème stochastique original en un problème déterministe, plus facile à résoudre numériquement avec des outils de programmation linéaire. L'approche est illustrée par un exemple numérique, démontrant l'efficacité de la méthode pour maintenir l'état du système dans les limites désirées, malgré la présence de perturbations aléatoires.

L'hypothèse d'une mesure parfaite de l'état est relâchée. La présence de mesures bruitées rend la formulation du processus de saut dépendant de l'état difficile à traiter directement. On se limite donc aux systèmes MJLS inhomogènes à temps discret, plus simples, avec du bruit de processus et des mesures bruitées. En utilisant des estimations conditionnelles et les covariances de la variable d'état, une représentation traitable du problème de CHG est obtenue. L'approche adoptée est similaire à celle utilisée avec la disponibilité parfaite de l'état, utilisant des estimations de l'état et leurs covariances conditionnelles. L’application de la méthode à la dynamique d'un véhicule à décollage et atterrissage vertical (VTOL) est proposée comme exemple concret. La complexité supplémentaire liée à l'estimation de l'état à partir de mesures bruitées est explicitement reconnue et justifiée par la nécessité de simplifier le problème afin d'obtenir une représentation traitable et solvable numériquement. Ceci souligne les compromis nécessaires entre la précision du modèle et la faisabilité du calcul de la commande.

Cette section adresse le problème de la commande à horizon glissant (CHG) pour des systèmes linéaires à sauts aléatoires (SLSA) dans un contexte d'information d'état imparfaite. Contrairement aux sections précédentes, l'état du système n'est pas parfaitement connu. Cette absence d'information parfaite rend le traitement des systèmes SDJLS (State-Dependent Jump Linear Systems) intraitable. On se restreint donc aux systèmes MJLS (Markov Jump Linear Systems) inhomogènes dans le temps à temps discret, plus simples à traiter même avec une information d'état incomplète. Le processus de saut aléatoire sous-jacent est une chaîne de Markov inhomogène, ce qui permet de maintenir une certaine tractabilité malgré l'imperfection de la mesure de l'état. La section rappelle les motivations de l'étude des MJLS inhomogènes, présentées précédemment, et rappelle les résultats existants concernant la stabilité. La difficulté principale est l'incapacité à garantir le respect des contraintes strictes sur l'état, en raison des bruits de processus et de mesure. Le recours à un traitement stochastique des contraintes est considéré comme une solution alternative. L'objectif est donc d’adapter la méthode CHG à ce nouveau contexte d'incertitude sur l'état du système.

Dans le cas de bruits de processus à support non borné (par exemple, un bruit gaussien), le respect strict des contraintes est impossible. De plus, un retour d'état linéaire ne permet pas de garantir des bornes sur la commande. Pour pallier ces problèmes, on utilise une approche stochastique, qui autorise des violations occasionnelles des contraintes. Des travaux antérieurs (Yan et Bitmead, 2005 ; Hokayem et al., 2012) traitant de la CHG avec des contraintes stochastiques et de l'estimation d'état sont mentionnés. Le document souligne l’originalité de l’approche proposée, car la CHG pour les MJLS inhomogènes avec information d'état incomplète et contraintes probabilistes n'a pas été explorée jusqu'alors. L’étude se concentre sur des contraintes probabilistes individuelles, plus simples à manipuler que les contraintes probabilistes conjointes (Prékopa, 1995 ; Henrion, 2007). Le choix d'un horizon de prédiction à un seul pas est justifié pour maintenir la tractabilité du problème, en simplifiant la gestion des contraintes probabilistes. Un filtre, ressemblant à un filtre de Kalman, est utilisé pour estimer l'état à partir des mesures bruitées.

La section détaille la mise en œuvre de la CHG à un pas pour des MJLS inhomogènes à temps discret, avec bruit de mesure et de processus gaussien, et contraintes probabilistes individuelles. Plusieurs défis sont soulignés : la nécessité d'un filtre pour estimer l'état, l'impossibilité de garantir des bornes strictes sur l'état et la commande, la pré-stabilisation du système, et l'obtention d'une représentation traitable du problème de CHG sous contraintes probabilistes. La fonction coût à minimiser est une espérance conditionnelle d'une fonction quadratique de l'état et de la commande, minimisée de manière récursive. La commande suit une loi affine par rapport à l'estimation de l'état. Les gains de retour d'état sont synthétisés hors ligne pour garantir la bornitude en moyenne quadratique du système. Les contraintes probabilistes sont remplacées par des contraintes déterministes, utilisant les prédictions d'état et les covariances. Le problème de CHG est approximé par un problème d'optimisation déterministe traitable. Un exemple numérique, basé sur une simulation de Monte-Carlo, illustre l'application de la méthode à un système à quatre états et deux commandes, vérifiant qualitativement la satisfaction des contraintes probabilistes. Le caractère non-équivalent certain du contrôleur est souligné, en raison de la présence des termes de covariance d'état dans les contraintes.

Cette section étend les résultats précédents au cas où l'information sur l'état du système est imparfaite, c'est-à-dire bruitée. La non-disponibilité d'un état parfait rend le traitement des processus de saut dépendant de l'état intraitable. Pour contourner cette difficulté, l'étude se concentre sur les systèmes MJLS (Markov Jump Linear Systems) inhomogènes à temps discret, une simplification des systèmes RJLS (Random Jump Linear Systems) plus généraux. L'utilisation des MJLS inhomogènes permet de conserver une certaine tractabilité même en absence d'information parfaite sur l'état. Le processus de saut aléatoire reste inhomogène (à probabilités de transition variables dans le temps) et la présence de bruit de processus et de mesures bruitées est explicitement prise en compte. L'objectif est de concevoir une commande à horizon glissant (CHG) efficace dans ce contexte plus réaliste mais plus complexe. La section précise que l’approche précédente, basée sur les systèmes SDJLS, devient inutilisable lorsqu'on ne possède qu'une information imparfaite sur l’état.

La section explique comment gérer l'incertitude liée à l'information d'état imparfaite. Un filtre, inspiré du filtre de Kalman, est utilisé pour estimer l'état du système à partir de mesures bruitées. Le document souligne que, même avec ce filtre, les contraintes sur l'état ne peuvent pas être garanties de manière stricte en raison du bruit de processus à support non borné (gaussien). Une approche stochastique pour le traitement des contraintes est privilégiée, autorisant des violations occasionnelles. La section mentionne des travaux antérieurs concernant la CHG avec contraintes stochastiques et estimation d'état (Yan et Bitmead, 2005 ; Hokayem et al., 2012), soulignant le caractère original de l'étude menée ici concernant les MJLS inhomogènes. Le choix de contraintes probabilistes individuelles, plus simples à gérer que des contraintes conjointes, est justifié par leur nature convexe contrairement aux contraintes conjointes qui sont non convexes (Prékopa, 1995; Henrion, 2007). Un horizon de prédiction à un seul pas est retenu pour des raisons de tractabilité.

Cette partie détaille les défis spécifiques posés par la CHG avec information d'état imparfaite. Le document identifie quatre difficultés majeures : la nécessité d'un filtre d'estimation d'état, l'impossibilité de garantir des bornes strictes sur l'état et la commande en présence de bruit de processus gaussien, le besoin d'une pré-stabilisation du système, et la complexité liée à l'obtention d'une représentation traitable du problème de CHG sous contraintes probabilistes. La méthode CHG à un pas est choisie. Une loi de commande affine, fonction de l'estimation de l'état, est utilisée. Les gains de retour d'état sont synthétisés hors ligne pour garantir la bornitude en moyenne quadratique. Les contraintes probabilistes sont transformées en contraintes déterministes, en utilisant les prédictions d'état et leurs covariances. Ceci permet d’approximer le problème de CHG stochastique par un problème d'optimisation déterministe. L'exemple d'un système macroéconomique est donné pour illustrer l'approche, avec une simulation de Monte-Carlo montrant la satisfaction qualitative des contraintes probabilistes, tout en reconnaissant la possibilité de violations occasionnelles.