Instabilités Anneau Expansion Dynamique

L'intérêt pour la problématique de la fragmentation dynamique a émergé dès les années 1940, motivé par la nécessité de comprendre la génération de gerbes d'éclats lors d'explosions de bombes, de missiles ou de mortiers. Les travaux de Mott (1947) constituent une contribution majeure de cette époque. Aujourd'hui, l'étude de la fragmentation intéresse toujours les institutions de défense, pour une meilleure caractérisation de la fragmentation des armes et la prédiction précise des gerbes d'éclats afin de concevoir de nouvelles armes. Parallèlement, l'industrie civile s'intéresse aux dangers liés à la destruction brutale d'installations industrielles, comme les citernes sous pression. L'explosion accidentelle de bouteilles d'acétylène à Sydney en 1993 (analysée par Price, 2006) illustre parfaitement les conséquences dévastatrices de tels événements. Le manque d'outils prédictifs fiables pour la fragmentation représente un frein majeur pour les concepteurs de systèmes d'armement et de conteneurs industriels, qui se basent actuellement sur des modèles purement empiriques. Cette thèse s'inscrit dans ce contexte, visant à améliorer la compréhension et la prédiction de la formation des gerbes d'éclats.

L'approche expérimentale s'est concentrée sur l'étude de la fragmentation de différentes structures soumises à des charges explosives. L'expansion et la fragmentation de cylindres ont été étudiées par de nombreux chercheurs, notamment Taylor (1963), Olive et al. (1979), Hoggatt et Recht (1968, 1969), Fyfe et Rajendran (1980), Mock et Holt (1983), Hiroe et al. (2008), Goto et al. (2008), et Besnard et al. (2010). Des études similaires ont été menées sur des anneaux (Hoggatt et Recht (1969), Goubot (1994), Llorca et Juanicotena (1997)) et des coquilles sphériques et hémisphériques (Slate et al. (1967), Juanicotena (1998), Mercier et al. (2010)). L'analyse d'images prises in situ a permis d'observer la formation de strictions jusqu'à la rupture. Ces expériences ont fourni des données précieuses sur les distributions de tailles de fragments, les déformations à striction et à rupture, le nombre de strictions et de fragments, ainsi que le temps d'apparition de ces phénomènes. Les travaux de Zhang et Ravi-Chandar (2006) ont mis en lumière les trois étapes de la fragmentation : une déformation homogène initiale, puis l'apparition de nombreuses strictions, et enfin la rupture de certaines de ces strictions menant à la formation de fragments, tandis que d'autres sont interrompues par des décharges élastiques.

Plusieurs modèles ont été proposés pour interpréter les résultats expérimentaux de fragmentation dynamique. Le travail pionnier de Mott (1947) introduit une approche probabiliste de la rupture, associant un concept d'ondes de relaxation (aujourd'hui appelées ondes de Mott) émanant des zones de rupture. Mott postule que la rupture, lors de l'expansion d'un anneau par exemple, commence au niveau de défauts matériels, chacun ayant un seuil de rupture dépendant de la déformation selon un processus de Poisson. L'onde de Mott, lorsqu'elle se propage, inhibe la création de nouveaux sites de rupture. Ce modèle permet de définir une distribution de taille des fragments sous forme d'histogramme. D'autres modèles analytiques, bien que moins détaillés ici, ont été développés, mais la principale limite des approches analytiques réside dans leur difficulté à prédire précisément le temps d'apparition des localisations multiples. Fressengeas et Molinari (1994) proposent une solution, mais elle est perçue comme une extrapolation linéaire trop ambitieuse. Guduru et al. (2006) et Jouve (2010) ont proposé des critères plus sophistiqués, basés sur un taux de croissance critique des perturbations, pour améliorer la prédiction du nombre de strictions et de leur temps d'apparition, en confrontant leurs modèles aux résultats expérimentaux de Grady et Benson (1983) et Olive et al. (1979) respectivement. Cependant, ces modèles ne décrivent pas la fragmentation finale ni la distribution de taille des fragments avec précision.

De nombreuses simulations numériques ont été effectuées pour reproduire la fragmentation de structures métalliques (Pandolfi et al., 1999; Becker, 2002; Rusinek et Zaera, 2007; Meulbroek et al., 2008; Zhang et Ravi-Chandar, 2008; Petit, 2010; Hopson et al., 2011). L'accent a été mis sur la reproduction des distributions de masse ou de longueur des fragments. Bien que les résultats soient souvent comparables aux observations expérimentales, l'influence des perturbations initiales sur le développement des instabilités reste souvent mal analysée. En particulier, la plupart des simulations ne considèrent qu'une seule réalisation des perturbations initiales, ce qui limite la fiabilité des conclusions sur le nombre de strictions et de fragments. Même avec des maillages fins, la description précise du mécanisme de striction reste un défi, comme le soulignent Meulbroek et al. (2008). La prédictivité des simulations pour des variations importantes de géométrie ou de vitesse d'expansion demeure incertaine. Les approches de Mott (1947) et Grady (1981) estiment bien les distributions de tailles de fragments, mais sans analyser le développement des instabilités. L'analyse linéaire de stabilité se limite à l'évaluation du mode dominant de striction multiple et à l'estimation du temps de début des strictions localisées via un critère ad hoc, sans décrire la fragmentation finale ni la distribution des tailles de fragments. L'hypothèse d'un mode dominant déterministe est contestée par certains expérimentateurs, qui observent des distributions de longueurs inter-strictions (Zhang et Ravi-Chandar, 2006).

Cette section introduit les fondements statistiques nécessaires à l'analyse du développement des instabilités et de la fragmentation. Elle établit une distinction entre variable aléatoire (grandeur scalaire tirée au hasard) et processus stochastique (souvent appelé fonction aléatoire, représentant une courbe tirée au hasard). Le nombre de strictions ou de fragments est considéré comme une variable aléatoire, tandis que le profil de la section d'un anneau à un instant t donné représente une réalisation du processus stochastique associé. Un processus stochastique est défini comme une famille paramétrée de variables aléatoires. Dans le contexte de cette étude, où l'on s'intéresse à des phénomènes dépendant du temps et de l'espace (évolution de la section d'un anneau), le processus stochastique est un processus spatio-temporel. Pour simplifier le langage, le terme fonction aléatoire est utilisé. La section S(x,t) d'un barreau cylindrique, représentant un anneau, sert d'exemple de fonction aléatoire f(x,t). Le théorème d'ergodicité est mentionné, postulant l'égalité entre les moyennes temporelles et spatiales pour une fonction aléatoire ergodique, permettant d'approcher la densité de probabilité d'une fonction aléatoire stationnaire ergodique à partir d'une seule réalisation suffisamment longue. Le découpage de cette durée en portions permet de considérer chaque portion comme une réalisation différente du processus stochastique.

L'objectif principal de cette partie est de présenter les concepts et outils théoriques de la statistique descriptive et inférentielle appliqués à l'étude des instabilités et de la fragmentation. La statistique descriptive vise à décrire et quantifier la variabilité observée par le biais d'histogrammes issus des résultats expérimentaux. La statistique inférentielle, quant à elle, cherche à définir un modèle de probabilité qui représente au mieux ces résultats, en utilisant par exemple des lois de densité de probabilité. Le texte introduit la notion de processus stochastique liée à ces phénomènes et présente la densité spectrale de puissance, un outil qui sera crucial pour l'analyse de la section d'un anneau en expansion. Bien qu'une littérature abondante existe en mathématiques sur ces concepts, le document souligne la nécessité de les adapter au contexte spécifique de l'instabilité et de la fragmentation.

Cette section détaille la méthode de simulation numérique utilisée. Une modélisation 3D de la traction uni-axiale d'un barreau de cuivre est réalisée à l'aide du code Lagrangien Ouranos du CEA. Le barreau est maillé avec des éléments hexaédriques à intégration réduite (32 x 2400 éléments). Cette configuration simule l'expansion d'un anneau lorsque la courbure est négligeable (rayon de la section petit devant le diamètre). Un barreau cylindrique de longueur initiale 2L0 = 128.805 mm et de section πR0² = 1 mm² est considéré, soumis à différentes vitesses de chargement V0 (150 m/s à 2100 m/s). La vitesse de déformation nominale est calculée comme ε̇ = V/L0. Pour initier les instabilités, des perturbations aléatoires sont introduites sur la limite d'écoulement plastique instantanée σy(t) du cuivre, en faisant fluctuer les coefficients de la loi d'écoulement. L'amplitude de cette perturbation est un paramètre variable (1%, 5%, 10%, 20%). La distribution des perturbations est quasi-aléatoire, mais la méthode permet des comparaisons entre simulations grâce à un maillage identique et une attribution systématique des perturbations. Le suivi de la fluctuation de la section du barreau au cours du chargement permet d'observer le développement des instabilités et la fragmentation. Une phase initiale stable précède l'apparition des strictions localisées qui concentrent les déformations, conduisant à la rupture de certaines strictions tandis que d'autres s'interrompent en raison de la relaxation induite par les strictions voisines.

L'analyse des simulations repose sur la méthode des densités spectrales, obtenues par transformée de Fourier de la fluctuation de la section du barreau. Le mode dominant des instabilités est identifié par la fréquence correspondant à l'amplitude maximale du spectre. Cependant, le bruit dans les réponses spectrales, lié aux perturbations initiales et à la précision de la transformée de Fourier (1000 points utilisés pour la discrétisation), rend l'identification du maximum précis difficile. Cette section souligne les difficultés liées à l'analyse de ces données numériques. La comparaison entre les résultats analytiques et numériques est complexe, en raison de la nature aléatoire des perturbations. Une distribution Gamma est envisagée pour modéliser les résultats, notamment les longueurs inter-strictions. La discussion aborde la question de la convergence des simulations en fonction du raffinement du maillage, en s'appuyant sur le formalisme corrélé de Bishop et Strack (2011). Ce formalisme permet de représenter des hétérogénéités liées au matériau, où la taille des cellules de référence est associée à un paramètre physique indépendant du maillage. L'étude confirme la convergence des configurations corrélées en termes de temps d'apparition des strictions (tneck) et de nombre de localisations (Nneck), illustrant la pertinence du choix du formalisme corrélé pour représenter des hétérogénéités.

Des études paramétriques sont menées pour étudier l'influence de différents facteurs sur le développement des instabilités. L'effet des fluctuations stochastiques sur le temps d'apparition (tneck) et le nombre de localisations (Nneck) est analysé. Ces fluctuations, inhérentes à la procédure de distribution aléatoire des perturbations, conduisent à une légère variabilité des résultats, même pour une même configuration de vitesse de chargement et d'amplitude de perturbation. L’étude de 12 simulations, considérées comme représentant la variabilité expérimentale, permet de suivre l'évolution des valeurs moyennes de tneck et Nneck. Le document mentionne les limites actuelles des simulations : le raffinement du maillage (R3 avec des éléments de 1 mm³) pour obtenir des résultats précis est extrêmement coûteux en calculs et rend la simulation de grandes structures irréalisable avec les moyens actuels. Des approches numériques multi-échelles, comme celle de Denoual et Hild (2000) pour la fragmentation fragile, pourraient permettre de contourner ces limitations. La discussion aborde l'impact de la taille des cellules de perturbation et la convergence du maillage. L'analyse souligne plusieurs sources d'aléas dans les simulations aléatoirement perturbées: la discrétisation temporelle, les limitations de la transformée de Fourier pour les faibles nombres d'ondes et l'effet du maillage. Ces incertitudes peuvent être réduites en augmentant le temps de calcul, ce qui n'est pas toujours réalisable.

Pour valider les modèles analytiques et numériques, des expériences d'expansion d'anneaux sont nécessaires. L'expansion par charges explosives ou forces électromagnétiques permet d'atteindre les vitesses de chargement et les grandes déformations requises pour observer la formation de strictions multiples. La méthode électromagnétique est privilégiée pour sa simplicité et sa sécurité par rapport aux explosifs. Le cuivre OFHC est choisi comme matériau d'étude, en raison de sa caractérisation dynamique déjà établie (Petit et Dequiedt, 2006), permettant une comparaison directe avec les simulations numériques. Les anneaux utilisés ont un rayon intérieur de 20 mm et une section carrée de 1 mm de côté. Le dispositif expérimental s'appuie sur la machine CYCLOPE (précédemment utilisée par Petit, 2010 pour des essais d'implosion de tubes), adaptée pour l'expansion d'anneaux. Les caractéristiques de la machine (capacité, inductance, résistance) sont précisées pour la reproductibilité des résultats. L’objectif est de réaliser des essais comparables à ceux de la littérature (Niordson (1965), Wesenberg et Sagartz (1977), Grady et Benson (1983), Gourdin (1987, 1989), Altynova et al. (1996), Grady et Olsen (2003), et Zhang et Ravi-Chandar (2006)), notamment ceux de Gourdin (1989) qui sont utilisés comme référence pour la comparaison expérience/calculs.

Le processus d'expansion, de striction, et de fragmentation des anneaux est suivi par ombroscopie à l'aide d'une caméra numérique ultra-rapide. Une caméra Shimadzu HPV-1 (cadence jusqu'à 1 million d'images/seconde, utilisée ici à 500 000 images/seconde) permet d'enregistrer une centaine d'images à une résolution de 320 x 260 pixels. Une caméra Imacon 200 (résolution 1200 x 980 pixels, temps inter-images de quelques nanosecondes) est également utilisée occasionnellement pour sa plus grande résolution, bien qu'elle ne permette d'obtenir que 14 images. Une lampe flash Specialised-Imaging AD500 (puissance 500 W) assure un éclairage suffisant du montage expérimental. Des traitements d'images (en cours de développement) permettront d'accéder à l'évolution de l'épaisseur de l'anneau en fonction de l'angle circonférentiel à différents instants. Cette donnée sera analysée par transformée de Fourier pour estimer une densité spectrale et ainsi décrire une densité de probabilité des longueurs inter-strictions, en parallèle avec les résultats des simulations numériques.

Les premiers essais ont démontré la faisabilité de l'expansion d'anneaux de cuivre à des vitesses importantes, conduisant à une fragmentation dynamique. Cependant, un échauffement important par effet Joule, dû à un courant électrique circulant dans l'anneau (surtout sur la surface interne), a été observé, affectant les résultats. Cet échauffement hétérogène, visible par l'apparition d'arcs électriques, n'est pas pris en compte dans les modèles d'analyse linéaire de stabilité. Des calculs couplés thermique/mécanique/électromagnétique par éléments finis existent, mais se révèlent instables et ne permettent pas de prédire la striction multiple. La comparaison avec les résultats de Gourdin (1989) est présentée, en soulignant des divergences dues notamment à la difficulté de modéliser précisément l'échauffement par effet Joule au-delà d'un certain temps. Des développements futurs viseront à réduire ou supprimer cet échauffement parasite, en améliorant le dispositif expérimental, pour améliorer la précision des comparaisons expérience/calculs.

Le travail de thèse a démontré la faisabilité d'une approche statistique pour étudier le développement des instabilités et la fragmentation dynamique. L'hypothèse d'homogénéité spatiale et d'ergodicité en représentation lagrangienne des processus a été cruciale. Cela signifie que les processus sont considérés comme décrits par une fonction aléatoire, ayant les mêmes caractéristiques stochastiques, qu'on considère un barreau infini ou un nombre important de barreaux de longueur finie. Les résultats obtenus par l'analyse linéaire de stabilité, largement utilisée dans la littérature pour étudier l'influence de paramètres géométriques, de l'inertie, et de la sensibilité à la vitesse de déformation, ont été analysés. Le mode dominant d'instabilité, souvent défini comme celui ayant le taux de croissance instantané le plus grand et associé à la fréquence des localisations, a été réexaminé. Un nouveau critère, basé sur une croissance critique des instabilités, a été proposé pour améliorer la prédiction du passage du développement des instabilités aux localisations. Les critères numériques (tneck, Nneck) définis pour comparer les résultats permettent de caractériser le temps d'apparition des localisations et leur nombre. La distribution Gamma s'avère appropriée pour modéliser les données numériques. La comparaison entre approches analytiques et numériques met en lumière les limites de l'analyse linéaire de stabilité (non-linéarités, hypothèses simplificatrices comme l'incompressibilité).

Plusieurs perspectives de recherche sont envisagées pour approfondir les résultats. L'approche statistique développée devrait permettre de décrire plus finement la transition entre le développement des instabilités et la fragmentation. L'étude du passage à la rupture dynamique est également un enjeu majeur. Les modèles d'endommagement/rupture dynamique existants étant principalement calibrés et validés pour des vitesses de déformation spécifiques (essais aux barres d'Hopkinson ou d'impacts plans), des essais d'expansion d'anneaux pré-entaillés sont envisagés pour combler le domaine des vitesses de déformation intermédiaires et améliorer la compréhension du phénomène. Ces essais seront comparés à des simulations numériques adaptées. Concernant les expérimentations par forces électromagnétiques, des améliorations sont nécessaires pour réduire l'échauffement par effet Joule observé, ce qui affecte la qualité des résultats expérimentaux. L’étude des données obtenues par ombroscopie rapide et leurs traitements image sont encore en développement. Des comparaisons plus poussées entre expérience et calculs sont prévues une fois ces améliorations mises en place.