Fondements des Mathématiques pour l’Agrégation

Définition de corps réel : un corps commutatif totalement ordonné possédant la propriété de la borne supérieure.

Valeur absolue : norme usuelle de R, |x| = sup({x, -x}). Partie entière : E(x) = plus grand entier inférieur ou égal à x. Intervalle : partie de R contenant le segment [x, y] pour tous x et y dans cette partie.

R est de caractéristique nulle, infini, totalement ordonné, archimédien, possède la propriété de la borne supérieure et de la borne inférieure.

Intégrale de Riemann et intégrale de Lebesgue sont deux concepts d'intégration différents qui donnent lieu à des théories d'intégration différentes. L'intégrale de Riemann est définie comme une limite de sommes de Riemann, tandis que l'intégrale de Lebesgue est définie comme une limite d'intégrales de fonctions indicatrices. Bien que ces deux définitions soient différentes, elles conduisent au même résultat pour les fonctions continues sur un intervalle borné. En effet, le théorème de convergence dominée garantit que si une suite de fonctions intégrables au sens de Riemann converge vers une fonction intégrable au sens de Riemann, alors l'intégrale de Riemann de la fonction limite est égale à la limite des intégrales de Riemann des fonctions de la suite.

Définition : Une suite est une application de N dans un ensemble E. On la note souvent (u_n) ou (u(n)), son terme général étant u_n. Exemple : (n) = n^2 + 1 est une suite à valeurs dans R.

Si E = R, on parle de suite réelle. Limite d'une suite : Une suite (u_n) admet une limite l si ∀ε > 0, ∃ N ∈ N, tel que |u_n - l| < ε pour tout n ≥ N. Dans ce cas, on écrit lim n→∞ u_n = l, ou encore u_n → l. Sous-suite : Une sous-suite de (u_n) est une suite (v_n) dont les termes sont parmi ceux de (u_n). Théorème : Toute suite admet une sous-suite convergente ou divergente vers +∞ ou -∞.

Définition : Une série est une somme infinie de termes d'une suite. On la note Σ u_n ou Σ(u_n). Série convergente : Une série Σ u_n est convergente si sa suite des sommes partielles (S_n) = Σ(u_k) converge. Sa somme est alors lim n→∞ S_n, notée Σ u_n. Série divergente : Une série est divergente si sa suite des sommes partielles ne converge pas. Critère de comparaison : Si Σ a_n converge et 0 ≤ u_n ≤ a_n pour tout n, alors Σ u_n converge. Si Σ a_n diverge et 0 ≤ a_n ≤ u_n pour tout n, alors Σ u_n diverge.

Théorème de Rolle : Si f est une fonction continue sur un segment [a, b] différentiable sur ]a, b[, et f (a) = f (b), alors il existe c ∈ ]a, b[ tel que f ′(c) = 0.

Formule de Taylor-Lagrange : Si f est une fonction n fois continûment différentiable sur un intervalle I, alors pour tous x et a dans I, il existe c entre a et x tel que

Les primitives des fractions rationnelles peuvent être calculées en factorisant le dénominateur et en utilisant les primitives des fractions élémentaires.

Les primitives des fonctions de la forme P (cos(x), sin(x)) peuvent être calculées par substitution ou par intégration par parties.

Les primitives des fonctions de la forme G(x) = F (cos(x), sin(x)) peuvent être calculées par substitution ou par intégration par parties, en tenant compte de la dérivée de F.

Les primitives des fonctions de la forme H (x) = F (ch(x), sh(x)) peuvent être calculées par substitution ou par intégration par parties, en tenant compte de la dérivée de F.

Les primitives abéliennes sont des intégrales de fonctions rationnelles qui ne peuvent pas être exprimées en termes de fonctions élémentaires. Certaines primitives abéliennes peuvent être calculées à l'aide de fonctions elliptiques.

Ce sous-chapitre présente une application du théorème de Rolle pour montrer que si f est de classe C^1 sur un intervalle fermé [a, b] et si f(a) = f(b), alors il existe c dans ]a, b[ tel que f’(c) = 0.

La moyenne de Césaro d'une suite u est définie par lim sup n→∞ (u1 + ... un)/n, qui est égale à la moyenne de la série de terme général un.

La constante de Euler Γ(z) est définie par l'intégrale impimpropre Γ(z) = ∫0^∞ t^(z-1) e-t dt pour Re(z) > 0, et prolongée au demi-plan Re(z) > 0 par la relation de réflexion.

Cette section fournit les définitions fondamentales liées aux développements limités. Elle définit les équivalents, les infiniment petits et les infiniment grands, ainsi que les notations associées telles que o(f ) et O(f ). Ces définitions permettent de comparer le comportement asymptotique des fonctions.

Cette section explore les opérations algébriques sur les équivalents et les développements limités. Elle établit des règles pour additionner, soustraire, multiplier et diviser les équivalents, ainsi que pour dériver et intégrer les développements limités. Ces opérations sont essentielles pour manipuler et simplifier les expressions asymptotiques.

Cette section introduit la notion de développements asymptotiques. Elle définit les expansions asymptotiques et les équivalents asymptotiques, qui fournissent des approximations plus précises du comportement des fonctions pour de grandes valeurs de la variable. Les développements asymptotiques sont particulièrement utiles dans les situations où les développements limités ne suffisent pas à capturer le comportement asymptotique complet de la fonction.

Cette section présente une variété de techniques pour comparer le comportement asymptotique des séries et des fonctions. Elle couvre des méthodes telles que la comparaison terme à terme, les intégrales de Wallis, la méthode de Laplace et la transformation d'Abel. Ces techniques permettent de déterminer le comportement relatif des fonctions et des séries lorsque la variable tend vers l'infini ou zéro.

Cette section fournit un aperçu de divers types de développements limités. Elle discute des développements de Taylor, des développements de Laurent, des expansions asymptotiques et des développements singuliers. Chaque type de développement est présenté avec ses caractéristiques et applications uniques, mettant en évidence leur utilité dans différentes situations.

Une série entière est une série de la forme ∑n∈N anxn, où an est une suite de nombres complexes et x est une variable complexe.

Lemme d’Abel : Soit (un)n∈N une suite de nombres complexes. Si la série ∑n∈N anzn converge pour un certain z0 ∈ C, alors elle converge pour tout z ∈ C tel que |z| < |z0|.

Si une série entière ∑n∈N anzn a un rayon de convergence R > 0, alors elle converge uniformément sur tout disque fermé |z| ≤ r, où 0 < r < R.

Si une série entière ∑n∈N anzn a un rayon de convergence R > 0, alors elle converge simplement sur le cercle |z| = R.

Formule d’Hadamard : Si une série entière ∑n∈N anzn a un rayon de convergence R, alors R = 1/limsupn→∞√|an|.

Si une série entière ∑n∈N anzn a un rayon de convergence R > 0, alors sa dérivée terme à terme ∑n∈N nan zn-1 converge uniformément sur tout disque fermé |z| ≤ r, où 0 < r < R.

Théorème de Cauchy : Si deux séries entières ∑n∈N anzn et ∑n∈N bnz n ont des rayons de convergence R1 et R2 respectivement, alors leur produit de Cauchy ∑n∈N (∑k=0n akbk-n)zn a un rayon de convergence R = min(R1, R2).

Théorème de Taylor : Soit f une fonction analytique sur un disque ouvert D de centre z0. Alors, pour tout z ∈ D, f peut être représentée par une série entière convergente dans D : f(z) = ∑n∈N (f(n)(z0)/n!)(z - z0)n.