Introduction à la Théorie des Groupes et des Anneaux
Informations sur le document
| Langue | French |
| Nombre de pages | 89 |
| Format | |
| Taille | 578.06 KB |
| Auteur | C. Antonini |
| Année de publication | 2002 |
- Théorie des groupes
- Anneaux
- Mathématiques avancées
Résumé
I.Définition des Groupes
Un groupe est un ensemble avec une opération interne qui combine deux éléments pour en former un troisième, en satisfaisant les propriétés suivantes : associativité, élément neutre et inverse pour chaque élément. Les groupes commutatifs (ou abéliens) ont une opération qui est commutative, c'est-à-dire que l'ordre des éléments n'affecte pas le résultat.
1. Définition d un groupe
Définition 1
Un groupe est un ensemble G muni d'une loi de composition interne (lci), c'est-à-dire une application de G × G → G, généralement notée par la concaténation ((x, y) 7→ xy), vérifiant :
Associativité : (xy)z = x(yz)
Élément neutre : ∃ 1/ ∀ x x.1 = 1.x = x ; 1 est dit l’élément neutre
Inverse : ∀ x ∃ x − 1 /xx − 1 = x − 1 x = 1
2. Groupe commutatif ou abélien
Un groupe G est dit commutatif ou abélien si xy = yx. Dans ce cas on note souvent additivement ; l’élément neutre est alors noté 0, et x − 1 est noté − x.
3. p groupe
G est un p-groupe, avec p premier, si G est de cardinal une puissance de p.
II.Sous groupes
Un sous-groupe d'un groupe est un sous-ensemble qui est lui-même un groupe avec la même opération. Il doit contenir l'élément neutre, être fermé sous l'opération et contenir l'inverse de chaque élément.
1. Sous groupe
Définition: Un sous-groupe H d’un groupe G est un sous-ensemble de G qui est lui-même un groupe pour la même loi de composition interne que G. Formellement, H est un sous-groupe de G si et seulement si :
- 1 ∈ H
- (x, y) ∈ H² ⇒ xy ∈ H
- ∀x ∈ H, x⁻¹ ∈ H
III.Groupes Quotients
Le quotient d'un groupe par un sous-groupe normal est un autre groupe, qui hérite de certaines propriétés du groupe original. Le théorème de Lagrange stipule que l'ordre d'un sous-groupe divise l'ordre du groupe.
1.2.1 Rappel ensemble quotient
Soit E un ensemble et ∼ une relation d'équivalence sur E. On note [x] la classe d'équivalence de x pour tout x ∈ E. L'ensemble quotient E / ∼ est l'ensemble des classes d'équivalence de E pour la relation ∼.
1.2.2 Le cas des groupes
Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. On définit la relation ∼ sur G par x ∼ y si et seulement si xy−1 ∈ H. Cette relation est une relation d'équivalence. L'ensemble quotient G / H est le groupe quotient de G par H.
1.2.3 Le théorème de Lagrange
Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G. Alors l'ordre de H divise l'ordre de G, c'est-à-dire |H| divise |G|.
IV.Produits de Groupes
Les groupes peuvent être combinés pour former de nouveaux groupes à l'aide de produits directs et semi-directs. Identifier le type de produit permet de déduire des propriétés du nouveau groupe.
1. Produits
Produit direct (G × H)
- Définition : Ensemble G × H muni de la loi (x, y)(x’, y’) = (xx’, yy’)
- Propriétés : H, resp. G, est sous-groupe de G × H isomorphe à H, resp. G.
Produit semi-direct (G ⊠ H)
- Définition : Ensemble G × H muni de la loi (x, y)(x’, y’) = (xx’γ(x, x’), y’)
- Propriétés : H est sous-groupe normal de G ⊠ H isomorphe à H, et G/H est isomorphe à G.
2. Identifier un produit direct ou semi direct
- Pour identifier un produit direct, il suffit de vérifier que H et G sont normaux.
- Pour identifier un produit semi-direct, il faut vérifier qu'un sous-groupe H est normal et que le groupe quotient G/H est isomorphe à G.
V.Théorèmes de Sylow
Les théorèmes de Sylow donnent des conditions sur l'existence et le nombre de sous-groupes d'un groupe fini. Ils permettent de déterminer si un groupe est simple ou non.
1. Théorèmes de Sylow
Théorème de Sylow 1: Tout p-groupe admet au moins un sous-groupe d'ordre p.
2. Théorème de Sylow 2
Tout sous-groupe d'ordre p dans un p-groupe est normal.
3. Théorème de Sylow 3
Le nombre des sous-groupes d'ordre p dans un p-groupe est congru à 1 modulo p.
VI.Groupes Abéliens
Les groupes abéliens sont des groupes commutatifs qui satisfont à certaines conditions supplémentaires. Ils ont une structure simple et sont importants en algèbre.
1. Groupes abéliens
Définition: Un groupe G est dit abélien ou commutatif si, pour tous x et y de G, on a xy = yx.
2. Propriétés des groupes abéliens
Propriétés de base des groupes abéliens:
- Tout sous-groupe d'un groupe abélien est lui-même un groupe abélien.
- L'ordre d'un élément d'un groupe abélien divise l'ordre du groupe.
- Tout groupe cyclique est un groupe abélien.
- Tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit direct de groupes cycliques.
3. Exemples de groupes abéliens
Exemples de groupes abéliens:
- Le groupe des entiers relatifs muni de l'addition.
- Le groupe des nombres rationnels non nuls muni de la multiplication.
- Le groupe des matrices carrées d'ordre n à coefficients dans un corps K muni de l'addition.
VII.Zoologie des Groupes
Il existe une variété de groupes avec des propriétés distinctes, notamment les p-groupes, les groupes linéaires, les groupes orthogonaux et les groupes unitaires. Chaque type de groupe a ses propres caractéristiques et applications.