Introduction aux Groupes Fondamentaux et à la Topologie

Le groupe fondamental d'un espace topologique X est un groupe qui formalise la notion de trou dans X. Il est défini comme l'ensemble des classes d'équivalence de lacets dans X, où deux lacets sont équivalents s'ils peuvent être déformés continuellement l'un en l'autre sans sortir de X. Le groupe fondamental est noté π₁ (X, x₀), où x₀ est un point de base dans X.

Pour construire le groupe fondamental, on considère les lacets dans X, qui sont des applications continues de l'intervalle [0, 1] à X. La relation d'homotopie entre lacets permet de définir des classes d'équivalence de lacets. La loi de composition entre lacets induit une opération de groupe sur les classes d'équivalence, ce qui donne le groupe fondamental.

Le groupe fondamental du cercle S¹ est ℤ, le groupe des entiers. Cela signifie que le cercle a un seul trou, qui peut être représenté par un lacet qui enroule le cercle.

Le groupe fondamental est un outil puissant pour étudier la topologie des espaces. Il peut être utilisé pour déterminer si un espace est simplement connexe (sans trou) ou non. Il est également utilisé dans la classification des revêtements des espaces topologiques.