Modélisation et Analyse des Transferts Thermiques dans les Matériaux Semi-Transparents

Le travail de recherche est motivé par le thermoformage du verre, un procédé consistant à façonner le verre sous l'effet de la température. Le cycle thermique implique une montée en température lente initiale (risque de rupture) suivie d'un passage rapide de la transition vitreuse. Malgré l'apparente simplicité du processus, sa maîtrise reste complexe, reposant sur le savoir-faire et l'expérience des artisans verriers, aussi bien à l'échelle artisanale qu'industrielle. Ce défi technologique justifie l'étude approfondie du transfert de chaleur couplé rayonnement-conduction au sein du matériau, crucial pour optimiser et contrôler le processus de thermoformage. La compréhension fine de ce couplage est essentielle pour éviter les défauts de fabrication et améliorer l'efficacité énergétique du procédé. L'objectif est donc de proposer un modèle de simulation précis permettant une meilleure prédiction et contrôle des paramètres thermiques lors du thermoformage du verre.

La thèse porte sur la modélisation, l'étude théorique et la résolution numérique du transfert de chaleur couplé rayonnement-conduction dans un milieu gris, semi-transparent et non diffusif. Elle s'intéresse également à l'analyse et à la synthèse d'estimateurs d'état et de lois de commande pour la stabilisation et le suivi de trajectoires du système non linéaire de grandes dimensions résultant de la discrétisation des équations aux dérivées partielles (EDP). La littérature concernant l’étude théorique de l’équation de transfert radiatif (ETR) et de l’équation de la chaleur non linéaire est abondante, notamment les travaux de V. Agoshkov [2] et T. Cazenave et A. Haraux [36]. Cependant, l’étude théorique des équations couplées rayonnement-conduction reste plus récente, avec des contributions significatives telles que celle de Kelley [88] qui s'est concentré sur un système 1D stationnaire dans un milieu homogène, gris et isotrope avec symétrie axiale et une équation de la chaleur linéaire. La méthode DG est mentionnée comme étant largement utilisée pour la résolution numérique dans divers domaines de la physique. L'unicité du travail réside dans l'étude de la convergence des schémas numériques pour les équations couplées, notamment en régime stationnaire avec symétrie azimutale et conditions aux limites de température imposées (cf. [15]).

Plusieurs méthodes numériques existent pour traiter le rayonnement, parmi lesquelles les approches statistiques de type Monte Carlo et les méthodes déterministes (transferts discrets, éléments finis, volumes finis, et Galerkin discontinue). La méthode de Galerkin discontinue (DG) est présentée comme particulièrement prometteuse pour ce problème, offrant un bon compromis entre précision, coût mémoire et temps de calcul. Le choix s'est porté sur la méthode DG pour résoudre l'équation de transfert radiatif (ETR) et la méthode des éléments finis pour l'équation de conservation de l'énergie (équation de la chaleur). Plusieurs études sur la preuve de convergence de schémas numériques pour l’ETR [10, 124, 75] et l’équation de la chaleur non linéaire [41] existent séparément. Cependant, peu de travaux traitent de la convergence de schémas numériques pour la résolution des équations couplées, notamment en régime transitoire et en 2D. Le travail mentionne l'utilisation de la méthode de Newton pour résoudre les équations non linéaires et la méthode du point fixe discret pour démontrer la convergence du schéma numérique couplé. La formulation de Brezzi-Rappaz-Raviart est également mentionnée pour transformer l'équation de la chaleur semi-linéaire en un problème linéaire, permettant ainsi d'établir des estimations a priori de la solution.

La résolution numérique du système d'équations couplées, composé de l'équation de transfert radiatif (ETR) et de l'équation de la chaleur non linéaire, est abordée par une approche de discrétisation. Une discrétisation angulaire est effectuée en utilisant une quadrature numérique de type SN, divisant l'espace angulaire en plusieurs directions. Cette méthode permet de transformer le problème continu en un système d'équations différentielles ordinaires du premier ordre linéaires, avec des conditions aux limites radiatives. Une discrétisation spatiale est ensuite appliquée, utilisant la méthode de Galerkin discontinue (DG) pour l'ETR et la méthode des éléments finis pour l'équation de la chaleur. L’utilisation d'un maillage structuré commun aux deux méthodes permet de simplifier le couplage entre les deux équations. Pour gérer le couplage non linéaire entre l'ETR et l'équation de la chaleur, une linéarisation de type Newton est employée. Cette approche permet de découpler les équations et de faciliter la résolution numérique. La convergence du schéma numérique couplé est démontrée en utilisant la méthode du point fixe discret, s’appuyant sur des arguments de monotonie. L’équation de la chaleur semi-linéaire est transformée en un problème linéaire à l’aide de la formulation de Brezzi-Rappaz-Raviart pour établir des estimations a priori de la solution approchée.

L'étude de la convergence du schéma numérique est une étape cruciale pour valider la méthode de résolution. Le document souligne l'importance de la démonstration de la convergence du schéma numérique couplé, ce qui est réalisé via la méthode du point fixe discret. Cette méthode repose sur des arguments de monotonie, et porte sur le champ de températures. L’application du point fixe discret permet de démontrer que le schéma numérique possède une solution unique. De plus, la convergence de la solution approchée vers la solution continue du système est démontrée. Le document souligne que, à sa connaissance, il n'existe pas de résultat de convergence en 2D pour la discrétisation de l'ETR couplée à l'équation de la chaleur non linéaire. Cela présente un défi important et un problème ouvert. La stabilité du schéma numérique, notamment concernant sa discrétisation temporelle et spatiale, est aussi abordée. Cette analyse assure la fiabilité et la précision des résultats numériques obtenus, garantissant que la méthode converge vers une solution valide et stable.

La validation du code de calcul développé est effectuée par des simulations numériques. Toutes les simulations sont réalisées pour un milieu gris, semi-transparent et non diffusant. Des résultats numériques sont présentés pour assurer la validité du code et une étude de sensibilité est menée sur les maillages angulaires et spatiaux. L'étude considère le problème couplé avec différentes conditions aux limites thermiques de type Dirichlet, pour un milieu avec des surfaces noires, opaques à réflexion diffuse, et des surfaces opaques à réflexion spéculaire. Des simulations avec des conditions aux limites thermiques de type Robin sont également réalisées. Les résultats numériques obtenus permettent de vérifier la précision et la fiabilité du code de calcul développé. L'analyse de la sensibilité aux différents paramètres du maillage et la comparaison aux résultats existants dans la littérature confirment la robustesse de la méthode et la validité des solutions obtenues. Le choix de la quadrature SN pour la discrétisation angulaire et des méthodes DG et des éléments finis pour la discrétisation spatiale, combinés à la linéarisation de type Newton et à la méthode du point fixe discret, permettent de garantir la stabilité et la convergence du schéma numérique proposé.

Après avoir établi l'existence et l'unicité de la solution du système d'équations aux dérivées partielles (EDP) décrivant le transfert de chaleur couplé rayonnement-conduction, ainsi que la stabilité des schémas de discrétisation spatiale, la thèse aborde la synthèse d'un observateur d'état. En effet, la mesure directe de la température à chaque point du système discrétisé (de grande dimension) est coûteuse voire impossible. Un observateur d'état est donc nécessaire pour reconstruire l'état complet du système à partir de mesures partielles effectuées sur la surface du domaine. L'objectif est de construire la température à partir de capteurs placés à la surface. Le modèle discret, sous forme d'équations différentielles ordinaires (EDO) non linéaires, est exploité pour la synthèse de l'observateur. L'approche choisie s'appuie sur la structure particulière du modèle obtenu après la discrétisation des EDPs, et sur l'utilisation du théorème des accroissements finis (DMVT). Cette approche permet de construire un observateur d'état plus efficace et moins complexe.

La synthèse de l'observateur repose sur le théorème des accroissements finis (DMVT), qui permet d'obtenir une condition de Lipschitz moins restrictive que les formulations classiques [121]. L'utilisation du DMVT conduit à des conditions de synthèse moins contraignantes, sans hypothèses supplémentaires sur les non-linéarités du système. L'approche permet de construire un observateur d'ordre réduit, ce qui diminue significativement la complexité du calcul et le temps de calcul, notamment important pour les applications en temps réel. La dimension du gain de l'estimateur est égale à celle du premier bloc de la matrice de gain du cas d'ordre plein, tout en garantissant une convergence globale. La stabilité de l'observateur est assurée par la construction d'une matrice de gain appropriée. Le document mentionne plusieurs travaux sur la synthèse d'observateurs pour des systèmes non linéaires de type Lipschitz, soulignant les limitations des approches existantes pour les systèmes avec de grandes constantes de Lipschitz. L'approche proposée dans cette thèse vise à pallier ces limitations.

La stabilisation du système est abordée en utilisant l'observateur synthétisé. L'utilisation de l'observateur d'ordre réduit, combinée à la structure particulière du système, permet de garantir la stabilité du système en boucle fermée. La synthèse de la matrice de gain assurant cette stabilité est détaillée. L'étude explore également l'extension de l'approche au filtrage H∞, un concept crucial pour la robustesse du système face aux perturbations et aux incertitudes. Cette extension permet de prendre en compte la présence de bruit ou d'erreurs d'approximation. Des conditions suffisantes de stabilité pour le filtrage H∞ sont établies, exprimées sous forme d'inégalités matricielles linéaires (LMIs). Le document propose une nouvelle inégalité matricielle (LMI) pour le cas d'une commande basée observateur, où les matrices de gains de l'observateur et de la commande sont calculées simultanément en résolvant une seule inégalité. L'efficacité de l'approche proposée, y compris pour le filtrage H∞, est illustrée par des simulations numériques.

Un code numérique a été développé pour simuler le transfert de chaleur couplé rayonnement-conduction dans un milieu gris, semi-transparent et non diffusant. Des simulations numériques sont effectuées pour valider ce code. Les résultats obtenus démontrent la validité du code, en assurant sa cohérence avec les principes physiques et mathématiques du modèle. Une étude de sensibilité est menée afin d’analyser l’impact des maillages angulaires et spatiaux sur la précision des résultats. Cette analyse permet d'optimiser le choix des paramètres de discrétisation pour un compromis optimal entre précision et coût de calcul. La comparaison des résultats avec ceux disponibles dans la littérature, notamment les travaux de Mishra et al. [110] et Asllanaj et al. [17], permet de confirmer la fiabilité et la précision du code de calcul. L'accord entre les simulations et les résultats de référence valide la méthode numérique employée, confortant la pertinence des choix méthodologiques effectués.

Plusieurs cas tests sont réalisés pour explorer différentes configurations du problème. L'étude porte sur l’impact des conditions aux limites thermiques et des propriétés de surface sur la distribution de température. Des conditions aux limites de type Dirichlet sont utilisées pour un milieu avec des surfaces noires, opaques à réflexion diffuse et des surfaces opaques à réflexion spéculaire. L'impact de la réflexion diffuse et spéculaire sur le transfert de chaleur est analysé. Des conditions aux limites de type Robin sont également considérées pour un milieu avec des surfaces noires. L'analyse des résultats pour chaque cas teste la capacité du code à gérer des situations variées, démontrant sa flexibilité et sa robustesse face à différentes conditions de modélisation. L’analyse des résultats pour chaque type de surface permet de mieux comprendre l'influence de ces propriétés sur la distribution de température, contribuant ainsi à une compréhension plus complète du phénomène physique.

Les simulations numériques permettent d'analyser l'évolution de la température au cours du temps et dans l'espace. Pour les cas tests avec des conditions de Dirichlet non homogènes, l’étude montre que le temps nécessaire pour atteindre une solution convergente est influencé par le coefficient d’émissivité. Pour les cas tests impliquant des surfaces opaques à réflexion spéculaire et diffuse, l’étude souligne que la diminution du coefficient d’émissivité retarde l'état d'équilibre. Une comparaison avec des résultats existants dans la littérature, comme ceux de [112], permet de valider les résultats obtenus. L'analyse des résultats pour les différents cas tests, incluant des comparaisons avec des résultats de références issues de la littérature, montre la cohérence et la précision de la méthode de résolution numérique. L’étude montre l’accord entre les résultats obtenus et ceux de la littérature (mentionnant les références [110, 112, etc.]), validant ainsi le code numérique et confirmant la fiabilité de l’approche développée pour simuler le transfert de chaleur couplé rayonnement-conduction.