Théorie de l'Intégration et des Espaces Fonctionnels

Mis à jour le:16/02/2025

Informations sur le document

Langue	French
Nombre de pages	71
Format	\| PDF
Taille	510.71 KB

Intégration
Mesures
Espaces Lp

Résumé

I.Intégration

L'intégration est un processus mathématique qui consiste à trouver la somme ou l'aire sous une courbe. Dans ce contexte, voici les concepts clés :

σ-algèbre : Un ensemble de parties d'un espace mesurable qui est fermé sous les opérations d'union, d'intersection et de complémentation.
Mesure : Une fonction qui attribue un nombre non négatif à chaque partie mesurable d'un espace mesurable.
Fonction mesurable : Une fonction dont le graphe est dans une σ-algèbre.
Convergence dominée : Une propriété qui garantit que la limite d'une séquence de fonctions intégrables existe et est égale à l'intégrale de la limite.

1.1.1 Definitions Generalities

An algebra A is a set of subsets of a set X that is closed under finite unions, finite intersections, and complements. A sigma-algebra (or σ-algebra) is an algebra that is also closed under countable unions and countable intersections.

1.1.2 Generated σ algebra

The σ-algebra generated by a family of sets M is the intersection of all σ-algebras containing M. The σ-algebra generated by a family of functions is the σ-algebra generated by the inverse images of measurable sets under these functions.

II.Produit de convolution

Le produit de convolution est une opération mathématique qui combine deux fonctions pour obtenir une nouvelle fonction. Dans ce contexte, voici les concepts clés :

Convoluées : Les fonctions qui sont multipliées ensemble dans le produit de convolution.
Noyau : Une fonction fixée qui est utilisée pour convoler avec d'autres fonctions.

III.Espaces L^p et L^

Les espaces L^p et L^∞ sont des espaces fonctionnels qui regroupent les fonctions intégrables sur un espace mesurable donné. Voici leurs définitions :

Espace L^p : L'ensemble des fonctions intégrables dont la p-ème puissance est intégrable pour une valeur de p donnée (1 ≤ p ≤ ∞).
Espace L^∞ : L'ensemble des fonctions mesurables bornées, c'est-à-dire qui ont une borne supérieure finie.

IV.Approximation de fonctions

L'approximation de fonctions est un processus qui consiste à trouver une fonction qui s'approche d'une autre fonction donnée. Dans ce contexte, voici les concepts clés :

Approximation : Une fonction qui est proche d'une autre fonction donnée par rapport à une mesure d'erreur.
Partition de l'unité : Une collection de fonctions à valeurs non négatives qui somment à 1 sur un ensemble.

4.1 Topologie et approximation de fonctions caractéristiques

Intercalation d’ouverts relativement compacts entre un ouvert et un compact.
Séparation d’un compact et d’un fermé.
Approximation d’un ensemble mesurable par une fonction C ∞.
Lemme d’Urysohn.
Partition C ∞ de l’unité.

4.2 Approximation de fonctions continues

Approximation d’une fonction continue sur un compact par une fonction polynomiale.
Approximation d’une fonction continue sur un compact par une fonction rationnelle.

4.3 Approximation de fonctions mesurables

Approximation d’une fonction mesurable bornée sur un intervalle par une fonction en escalier.

4.4 Approximation de fonctions mesurables bornées

Approximation d’une fonction mesurable bornée sur un intervalle par une fonction continue.
Approximation d’une fonction mesurable bornée sur un intervalle par une fonction C 1.

4.5 Dans les espaces C k ou L p

Densité des fonctions C k à support compact dans C k (R n ).
Densité de l’ensemble des fonctions continues à support compact dans L p (R n ).
Densité de l’ensemble des fonctions C ∞ à support compact dans C k (R n ).
Densité de l’ensemble des fonctions C ∞ à support compact dans L p ( R n ).

4.6 Autre approche dans les espaces L p

Approximation dans L 1 par des fonctions semi-continues.
Approximation dans L p pour p < ∞ par des fonctions en escalier à support compact.
Approximation dans L p pour p < ∞ par des fonctions C ∞ à support compact.
Approximation de fonctions tendant vers 0 en ±∞ dans L ∞ par des fonctions C ∞ à support compact.

V.Séries de Fourier

Les séries de Fourier sont des représentations de fonctions périodiques en termes de sommes infinies de fonctions sinusoïdales et cosinusoïdales. Voici les concepts clés :

Séries trigonométriques : Les séries de Fourier qui ne contiennent que des termes sinusoïdaux et cosinusoïdaux.
Transformation de Fourier : Une transformation mathématique qui convertit une fonction dans le domaine temporel en une représentation dans le domaine fréquentiel.

1. Séries trigonométriques

Les séries trigonométriques sont des séries de fonctions trigonométriques qui sont utilisées pour représenter des fonctions périodiques. Elles sont définies comme des sommes de fonctions sinus et cosinus avec des coefficients déterminés par la fonction à représenter.

2. Séries de Fourier d une fonction périodique

La série de Fourier d'une fonction périodique est une série trigonométrique qui converge vers la fonction sur son intervalle de périodicité. Les coefficients de la série de Fourier sont déterminés par les intégrales de la fonction sur cet intervalle.

3. Transformation de Fourier

La transformation de Fourier est une transformation intégrale qui convertit une fonction du domaine temporel en une fonction du domaine fréquentiel. Elle est utilisée pour analyser les signaux et les systèmes.

4. Applications des séries de Fourier

Les séries de Fourier ont de nombreuses applications, notamment :

Le calcul des intégrales
La résolution d'équations différentielles
L'analyse des signaux et des systèmes