Discrétisation des systèmes de Lur’e : Stabilisation et Consistance

Cette section pose les bases du chapitre en définissant précisément le problème de Lur'e. Il s'agit de l'étude de la stabilité d'un système formé de l'interconnexion d'un système linéaire et d'une non-linéarité satisfaisant une condition de secteur globale. Le texte souligne l'importance de cette classe de systèmes dans le domaine de l'automatique, mentionnant des études approfondies, tant en temps continu qu'en temps discret. L'objectif est d'obtenir des résultats numériquement exploitables. Il est spécifié que l’étude se concentrera sur les évolutions du problème de Lur'e en temps discret et continu. L'existence d'une littérature abondante sur les systèmes non-linéaires génériques est reconnue, mais le choix se porte sur les systèmes de Lur'e pour leur maniabilité numérique et leur pertinence applicative. Le chapitre prépare le terrain pour l'exploration des systèmes de Lur'e à données échantillonnées, un domaine moins exploré dans la littérature.

Plusieurs exemples concrets de systèmes modélisables par une structure de type Lur'e sont fournis pour illustrer la portée de ce cadre. Le document mentionne spécifiquement un oscillateur mécanique autonome, un exemple classique et bien étudié dans la littérature physique. D'autres exemples tirés du domaine des systèmes chaotiques sont présentés, incluant le système de Duffing et le circuit de Chua. L'identification des paramètres de ces systèmes est également évoquée. Enfin, l'interprétation des systèmes de Lur'e pour la modélisation de systèmes incertains est mentionnée, soulignant la flexibilité et la généralité de ce type de modélisation. Ces exemples concrets renforcent l'importance pratique de l'étude des systèmes de Lur'e et leur capacité à représenter une large gamme de phénomènes physiques.

Cette partie du Chapitre 1 introduit la notion clé de systèmes non-linéaires à données échantillonnées. Il est expliqué que l'utilisation de lois de contrôle à temps discret pour améliorer les performances de processus à temps continu est une pratique courante dans l’industrie. Le texte identifie trois approches principales pour le dimensionnement de correcteurs numériques dans le contexte des systèmes à données échantillonnées: le continuous-time design (CTD), le discrete-time design (DTD), et le sampled-data design (SDD). Les avantages et les inconvénients de chaque méthode sont brièvement présentés, soulignant la complexité de l'approche SDD et la nécessité de périodes d'échantillonnage très courtes pour les méthodes CTD et DTD basées sur des techniques de discrétisation comme Euler, Tustin et le placement de pôles et de zéros. L'accent est mis sur la difficulté de garantir la stabilité du système dans sa version continue, notamment dans le cas non-linéaire, où la résolution d'équations différentielles non-linéaires sur une période d'échantillonnage peut être impossible. Le manque de résultats concernant les systèmes de Lur'e à données échantillonnées est spécifiquement souligné, motivant les contributions des chapitres suivants. Les conditions suffisantes de stabilité rappelées ici servent de base pour les développements ultérieurs.

Ce chapitre commence par introduire le cœur du problème : l'utilisation d'une fonction de Lyapunov dont les lignes de niveau peuvent être non connexes et non convexes. Ce concept, issu du Chapitre 1 et basé sur des travaux récents ([GJD12b, Gon12]), est une rupture par rapport aux fonctions quadratiques classiques utilisées dans l’analyse de stabilité. La fonction de Lyapunov employée ici autorise des non-linéarités à dérivées potentiellement infinies, contrairement aux approches précédentes ([JL64]). La non-connexité des lignes de niveau, bien que bénéfique pour l'analyse de la stabilité des systèmes en temps discret, pose un problème crucial lorsqu'il s'agit d'étudier la stabilité d'un système en temps continu discrétisé. Le chapitre met en évidence l'incompatibilité a priori de ces fonctions de Lyapunov non connexes avec une étude en temps continu. Le problème central est donc de trouver un moyen d'utiliser l'information provenant de cette fonction de Lyapunov discrète pour garantir la stabilité du système continu d'origine. Le chapitre introduit également des types de fonctions de Lyapunov existantes dans la littérature : fonctions quadratiques, polyédrales et composites, afin de situer les propriétés de la nouvelle approche. L'étude des systèmes de Lur'e échantillonnés est mentionnée comme une application de cette nouvelle approche.

Face à la problématique des lignes de niveau non connexes de la fonction de Lyapunov, cette section propose une méthodologie pour construire une suite d'ensembles connexes à partir des lignes de niveau non connexes du système discrétisé. L'objectif est de pouvoir étendre les conclusions sur la stabilité du système discret, obtenu par discrétisation d'Euler, au système continu d'origine. La construction de cette suite d'ensembles s'appuie sur le fait que la trajectoire du système continu reste bornée entre deux instants d'échantillonnage. Ces ensembles connexes doivent être bornés, décroissants au sens de l'inclusion, et converger vers l'origine tout en contenant la trajectoire du système continu. Le texte évoque l'utilisation d'une fonction de Lyapunov V(·;·) et mentionne des théorèmes (Théorème 2.1, 2.2, 2.4) pour justifier la démarche et quantifier la distance entre les modèles discrétisés exact et approché (discrétisation d'Euler). La Proposition 2.1 est mentionnée comme la méthodologie employée. L'influence de la période d'échantillonnage T sur la connexité des ensembles est également discutée. Un exemple numérique sert à illustrer cette construction de la suite d'ensembles connexes, fournissant ainsi un cadre pour l'analyse de la stabilité dans le cas continu.

En résumé, ce chapitre a démontré comment traiter la stabilité des systèmes de Lur'e en temps continu via leur discrétisation d'Euler, en utilisant une fonction de Lyapunov à lignes de niveau potentiellement non connexes et non convexes. Il a été montré que l'analyse de stabilité du modèle discrétisé ne permet pas de conclure directement sur la stabilité du système continu à cause de la non-connexité des lignes de niveau. La solution proposée consiste en la construction d'une suite d'ensembles connexes et bornés, décroissante au sens de l'inclusion, qui converge vers l'origine et englobe la trajectoire future du système continu. Cette construction permet de relier l'analyse de la stabilité à temps discret à la stabilité à temps continu. Le choix de la période d'échantillonnage est crucial dans ce processus, influant sur la connexité des ensembles. Le chapitre ouvre la voie à l'application de ces résultats à la synthèse de contrôleurs pour des systèmes à données échantillonnées, point crucial pour les développements futurs.

Ce chapitre se concentre sur la stabilisation de systèmes de Lur'e à données échantillonnées utilisant un échantillonnage non-uniforme. L'hypothèse de départ est qu'un ensemble fini de périodes d'échantillonnage est disponible. Le problème de stabilisation est abordé de manière originale en reformulant le système comme un système de Lur'e commuté en temps discret avec des paramètres incertains bornés en norme. Cette reformulation est cruciale pour permettre une approche numérique traitable. L'introduction d'un critère de performance sous forme d'une fonction coût quadratique est un élément clé de l'approche. Ce critère permet de prendre en compte des coûts spécifiques associés à chaque période d'échantillonnage, ouvrant la voie à l'optimisation de la stratégie d'échantillonnage. Le chapitre établit le lien avec les résultats du chapitre précédent, notamment sur l'utilisation d'une fonction de Lyapunov, et prépare le terrain pour l'introduction d'une méthode de stabilisation originale reposant sur la résolution d'un problème d'optimisation sous contraintes. Un exemple numérique est promis pour illustrer les caractéristiques de la méthode proposée.

Cette section détaille la méthode de synthèse du contrôleur pour les systèmes de Lur'e à données échantillonnées avec échantillonnage non-uniforme. Le point central est la reformulation du problème de stabilisation en un problème de stabilisation d'un système de Lur'e commuté à temps discret avec des incertitudes bornées. Cette transformation est justifiée et s'appuie sur l'utilisation de la discrétisation d'Euler, permettant d'obtenir un modèle approché mais traitable numériquement. La discrétisation d'Euler est donc un élément clé de la méthodologie proposée. Le choix de la discrétisation d'Euler permet de simplifier le problème tout en conservant une représentation sous forme de système de Lur'e. L'introduction d'un critère quadratique permet d'intégrer un aspect de coût associé à chaque période d'échantillonnage. La méthode de synthèse considère un ensemble fini de périodes d'échantillonnage et vise à déterminer la loi de contrôle et la stratégie de commutation optimale. La stabilité globale et uniforme asymptotique du système en boucle fermée est garantie par les conditions suffisantes formulées, ouvrant la voie à une analyse plus détaillée de la performance.

Cette section présente un exemple numérique pour illustrer la méthode de stabilisation proposée. L'exemple numérique permet de comparer la performance obtenue avec la stratégie d'échantillonnage non-uniforme à celle obtenue avec un échantillonnage uniforme. L’écart entre le majorant de la fonction coût et le coût exact est analysé, justifiant l'approche par majoration. L'efficacité de la stratégie min-switching est mise en évidence, montrant une amélioration significative du coût par rapport à l'utilisation d'une seule période d'échantillonnage. Cet exemple permet de démontrer concrètement l'intérêt de l'approche par système commuté et de la prise en compte du coût associé à chaque période d'échantillonnage. Les résultats obtenus confirment l'efficacité de la méthode de synthèse proposée dans le cadre de la stabilisation des systèmes de Lur'e à données échantillonnées avec échantillonnage non-uniforme. La discussion sur cet exemple numérique sert à valider la méthodologie et à illustrer ses avantages pratiques.

Ce chapitre introduit la notion de consistance dans le contexte des systèmes commutés, en commençant par le cas linéaire. La consistance, introduite dans [GDD11], décrit une propriété d'une loi de commutation pour laquelle le coût associé est meilleur que le coût obtenu en utilisant chaque mode indépendamment. En d'autres termes, une stratégie de commutation consistante offre une meilleure performance que l'utilisation de n'importe quel mode individuellement. Cette propriété est examinée pour les systèmes linéaires commutés en temps continu et discret, pour des critères de performance tels que les normes H∞ et H2 ([DGD11, GDD13]). L'analyse du cas linéaire sert de base et de comparaison pour l'extension de la notion de consistance aux systèmes de Lur'e commutés non-linéaires qui est l'objectif principal du chapitre. La discussion sur la consistance dans le cadre linéaire établit un point de référence pour les résultats futurs et met en avant la complexité supplémentaire introduite par la non-linéarité.

Cette section étend la notion de consistance aux systèmes de Lur'e commutés à temps discret. La présence de la non-linéarité, spécifiquement la condition de secteur considérée, introduit des difficultés. Contrairement au cas linéaire où les majorants de la fonction coût sont égaux aux valeurs exactes, la non-linéarité nécessite l'utilisation de majorants. La définition de consistance est donc adaptée pour tenir compte de ces majorants. La nouvelle définition de la consistance inclut le cas linéaire comme un cas particulier. La consistance n'est plus uniquement définie par rapport à une stratégie de commutation, mais par rapport au couple (stratégie de commutation, classe de majorants). Une analyse de la stratégie min-switching, introduite dans les chapitres précédents, est conduite. Des exemples numériques (avec des paramètres q1, q2, illustrant l'évolution des majorants de la fonction coût) sont présentés pour démontrer la consistance de la stratégie min-switching et quantifier son amélioration de performance par rapport à des stratégies modales. L'impact de la non-linéarité sur l'extension de la consistance aux coûts exacts est discuté.

Cette section applique la notion étendue de consistance au problème de l'échantillonnage non-uniforme étudié dans les chapitres précédents. En utilisant la stratégie min-switching, il est démontré que l'échantillonnage non-uniforme est consistant par rapport aux majorants quadratiques modaux du critère de performance. Cela signifie que la stratégie d'échantillonnage non-uniforme assure toujours une performance au moins aussi bonne que celle obtenue avec une seule période d'échantillonnage (dans le pire des cas). Cependant, la limitation de cette approche est soulignée : la consistance ne peut être étendue aux coûts exacts des trajectoires, contrairement au cas linéaire. Des exemples numériques supplémentaires avec des paramètres (q1, q2, r1, r2) illustrent les résultats, comparant les performances obtenues avec un échantillonnage non-uniforme et un échantillonnage uniforme. Le chapitre conclut en soulignant l'intérêt de l'échantillonnage non-uniforme tout en précisant les limites de l'extension de la notion de consistance aux coûts exacts dans un contexte non-linéaire.

Ce chapitre résume les contributions principales de la thèse, articulées autour de l'étude des systèmes de Lur'e via leur discrétisation d'Euler. La première contribution majeure concerne la résolution du problème posé par les lignes de niveau non connexes des fonctions de Lyapunov utilisées dans l'analyse de stabilité des systèmes de Lur'e à temps discret. Il s'agit de lever le verrou de la non-connexité pour pouvoir étendre les résultats de stabilité obtenus en temps discret au système continu d'origine. La solution repose sur la construction d'une suite d'ensembles connexes et bornés, à partir des lignes de niveau non connexes du système discrétisé, permettant ainsi de garantir la stabilité du système continu. La seconde contribution majeure traite de la stabilisation des systèmes de Lur'e à données échantillonnées avec un échantillonnage non-uniforme. Le problème est reformulé comme la stabilisation d'un système commuté de Lur'e avec des incertitudes bornées, ce qui permet de proposer une méthode de synthèse utilisant des contraintes LMI. L'utilisation d'un critère de performance quadratique permet d'intégrer les coûts liés aux différentes périodes d'échantillonnage. Une stratégie min-switching est employée pour optimiser cette performance. Enfin, l'extension de la notion de consistance aux systèmes de Lur'e commutés est présentée.

Le chapitre conclut en ouvrant des perspectives de recherche. L'une des pistes évoquées est l'extension des résultats obtenus en considérant des non-linéarités vérifiant une condition de secteur locale au lieu d'une condition de secteur globale. Cela permettrait d'étudier des non-linéarités plus complexes comme la saturation et la zone morte. La difficulté principale réside alors dans la garantie que les trajectoires du système à temps continu et de son discrétisé d'Euler restent dans la zone de validité de la condition de secteur locale. Cette adaptation nécessiterait une étude approfondie, d'abord dans le cadre discret, puis en tenant compte des contraintes de liaison entre le modèle discrétisé et le système à temps continu établies dans le Chapitre 2. Le texte souligne le caractère encore limité de la littérature sur les systèmes de Lur'e mêlant temps continu et discret (systèmes de Lur'e échantillonnés, à données échantillonnées...). Ces perspectives ouvrent la voie à de futures recherches pour élargir la portée et l'application des résultats obtenus dans cette thèse.