Introduction aux Mathématiques pour l’Agrégation
Informations sur le document
| Auteur | C. Antonini |
| École | Standard format not all caps |
| Spécialité | the person who guided and helped the author, not the same as the author |
| Année de publication | May 18th, 2002 |
| Langue | French |
| Nombre de pages | 40 |
| Format | |
| Taille | 461.84 KB |
- Géométrie affine
- Géométrie projective
- Algèbre linéaire
Résumé
I.Espace Affine
Un espace affine est un ensemble de points associé à une direction vectorielle et permettant des translations et des additions. Il peut être de dimension finie ou infinie. Les translations et les variétés affines (droites, plans, etc.) sont des opérations importantes dans un espace affine.
1. Définitions générales
Espace affine : Ensemble doté d'une application définissant une opération de soustraction vectorielle entre points. Vecteurs : Éléments de l'espace vectoriel associé à l'espace affine. Points : Éléments de l'espace affine. Dimension : Dimension de l'espace vectoriel associé.
2. Barycentre
Barycentre : Point obtenu en pondérant les points donnés par des coefficients dont la somme est 1. Isobarycentre : Barycentre de points pondérés par 1/n.
3. Coordonnées cartésiennes et barycentriques
Famille affinement libre : Famille de points dont les vecteurs de soustraction forment une famille libre. Coordonnées cartésiennes : Coordonnées d'un point par rapport à une famille affinement libre donnée. Coordonnées barycentriques : Coordonnées d'un point par rapport à un ensemble affinement libre fixé.
II.Espace Projectif
Un espace projectif est obtenu à partir d'un espace affine en ajoutant des points à l'infini. L'homographie et le birapport sont des transformations importantes dans les espaces projectifs. Les espaces projectifs ont des propriétés topologiques particulières.
2.1 Homographies birapport et droite projective
Homographies sont des bijections de la droite projective sur elle-même, qui conservent le birapport. Le birapport de quatre points alignés est invariant par homographie. La droite projective peut être représentée par un espace vectoriel de dimension 2, avec une base formée de deux points. Les homographies sont représentées par des matrices 3x3, et le birapport est donné par un invariant de ces matrices.
2.2 Espaces projectifs
Espaces projectifs sont des ensembles de points, de droites et de plans, qui sont invariables par homographie. Un espace projectif de dimension n est représenté par un espace vectoriel de dimension n+1. Les points sont représentés par des vecteurs non nuls, et les droites sont représentées par des sous-espaces vectoriels de dimension 1. Les plans sont représentés par des sous-espaces vectoriels de dimension 2, et ainsi de suite.
III.Zoologie de la Géométrie
La dualité, en intervertissant les points et les plans, permet d'établir des correspondances entre des figures de géométrie plane et projective. La droite de Simson et le cercle des neuf points sont des exemples d'objets géométriques intéressants. Dans les dimensions supérieures, les sous-groupes finis du groupe orthogonal en dimension 3 et le théorème de Pappus sont des sujets importants.
1. La dualité
La notion de dualité est introduite, où les points et les droites d'un espace affine ou projectif sont interchangés, conduisant à des propriétés symétriques entre les deux ensembles.
2. Géométrie dans le plan et dans le plan projectif
Le théorème de Pappus est énoncé, illustrant le lien entre la géométrie affine et la géométrie projective dans le plan et le plan projectif.
3. Géométrie dans l espace
Les rotations et réflexions dans l'espace sont discutées, y compris les sous-groupes finis du groupe orthogonal spécial en dimension 3, qui correspondent à des symétries de polyèdres réguliers.
4. La droite de Simson et quelques suites
La droite de Simson, associée à un triangle et à un point, est définie et étudiée. Des suites de points remarquables liées à la droite de Simson sont également présentées.
5. Le cercle des neuf points et une suite par Coolidge
Le cercle des neuf points, associé à un triangle, est défini. Une suite de points remarquable découverte par Coolidge, liée au cercle des neuf points, est également présentée.