Taux de Convergence pour les Processus Markoviens Continus : Lyapunov contre Poincaré

L'article introduit deux méthodes classiques pour étudier les propriétés ergodiques quantitatives de processus : l'approche de Lyapunov (Meyn et Tweedie), basée sur le contrôle des excursions de fonctionnelles du processus via des fonctions de Lyapunov, et l'approche utilisant les inégalités fonctionnelles de type Poincaré. L'existence d'une fonction de Lyapunov garantit une convergence exponentielle ou géométrique, tandis que des convergences sub-géométriques ou polynomiales peuvent également être envisagées. L'objectif principal est d'établir un lien entre ces deux approches, permettant une analyse plus complète du taux de convergence vers une mesure invariante µ. Le comportement à long terme des semi-groupes de Markov est lié aux inégalités fonctionnelles, le cadre L² et les inégalités de Poincaré (ou faibles inégalités de Poincaré) étant particulièrement importants. L'étude mentionne également les inégalités de Sobolev logarithmiques (Gross) et leur lien avec la convergence en distance de variation totale. Le manque de conditions suffisantes générales et facilement vérifiables pour les inégalités de Poincaré constitue une motivation clé pour connecter les approches de Lyapunov et de Poincaré.

Cette section introduit les nouvelles inégalités Lyapunov-Poincaré, qui permettent de relier les approches de Lyapunov et de Poincaré. L'article souligne que l'approche de Meyn-Tweedie, bien que fournissant des conditions suffisantes pour la convergence exponentielle (existence d'une fonction de Lyapunov φ), ne fournit pas de contrôle explicite des constantes. La nouvelle approche vise à pallier ce défaut en fournissant des constantes explicites à partir des mêmes conditions de dérive. L'analyse s'étend aux mesures initiales plus générales, réduisant l'étude de la convergence à celle du semi-groupe appliqué à une densité initiale. Le lien entre le comportement à long terme des semi-groupes de Markov et les inégalités fonctionnelles est réaffirmé. L'article discute des taux de convergence plus lents pour des densités initiales moins intégrables et pour une masse de Dirac initiale, et fait référence à des travaux antérieurs ([8]) pour une discussion plus détaillée dans des cas particuliers. Des résultats concernant des distances plus fortes que la distance de variation totale (distances de variation totale pondérées et distances de Wasserstein) sont mentionnés, bien qu'elles conduisent à des taux de convergence plus lents. Le cas symétrique et son lien avec un résultat partiel inverse sont également considérés.

Cette section décrit le cadre mathématique de l'étude. La mesure µ est une mesure invariante pour le processus avec un générateur L. Une hypothèse importante est l'existence d'un « carré du champ », assurant l'existence d'une algèbre qui est un cœur pour le générateur, permettant de définir des opérateurs liés à la dispersion du processus. L'article rappelle que l'existence d'une fonction de Lyapunov dans le cas symétrique implique une inégalité de Poincaré, mais note que les techniques utilisées par Wu sont différentes et basées sur des idées spectrales. La fonction de Lyapunov est toujours dans L¹(µ), ou seulement φ◦V est intégrable selon l'inégalité de Lyapunov. L'article souligne qu'il n'existe pas de résultat inverse analogue pour l'entropie relative, contrairement à la variance. Il est mentionné qu'une inégalité de Poincaré peut être vraie sans inégalité de Sobolev logarithmique, et inversement. Enfin, la difficulté d'obtenir un résultat inverse à partir d'une inégalité de Poincaré faible est mise en avant, en raison des difficultés à contrôler la norme infinie du semi-groupe appliqué à une masse de Dirac, et de l'absence de résultat inverse dans le cadre de Meyn-Tweedie pour une convergence sub-géométrique en variation totale.

Cette section explore le lien entre l'existence de fonctions de Lyapunov et l'obtention d'inégalités de Poincaré dans le cas symétrique. Il est déjà connu que l'existence d'une fonction de Lyapunov implique une inégalité de Poincaré (Wu [34, 36]), mais les techniques utilisées par Wu diffèrent de celles présentées ici. L'intégration de la condition de Lyapunov montre que la fonction de Lyapunov est toujours dans L¹(µ), ou que seulement φ◦V est intégrable. L'utilisation de ce théorème permet de dériver facilement le taux de convergence correct vers l'équilibre et d'étendre les inégalités de Poincaré faibles connues en dimension un à des dimensions supérieures. Cependant, un inconvénient majeur réside dans le manque de connaissance des constantes dans le cas général, bien que des références soient fournies pour des résultats offrant des constantes explicites ([10]). L'absence d'un résultat inverse analogue pour l'entropie relative par rapport à la variance est soulignée. Bien que l'entropie relative décroisse exponentiellement vite, contrôlée par la variance initiale dès qu'une inégalité de Poincaré est vérifiée, une inégalité de Poincaré peut exister sans inégalité de Sobolev logarithmique. Néanmoins, à partir du Théorème 2.2, il est possible de prouver une inégalité de Sobolev logarithmique faible. La section conclut en soulignant l'impossibilité d'obtenir un résultat inverse à partir d'une inégalité de Poincaré faible, en raison de difficultés de contrôle de la norme infinie et de l'absence d'un résultat inverse dans le cadre de Meyn-Tweedie pour la convergence sub-géométrique en variation totale.

Cette partie étudie la relation entre des inégalités de Poincaré modifiées (conservant une décroissance exponentielle) et l'existence d'une fonction de Lyapunov (avec φ(u) = αu), sans l'hypothèse de symétrie. La démonstration utilise le lemme de Gronwall appliqué à une inégalité différentielle dérivée de l'inégalité Lyapunov-Poincaré. L'espace euclidien équipé d'une mesure absolument continue µ(dx) = e⁻²F dx est étudié en détail. La dimension un est le seul cas où il existe une condition nécessaire et suffisante générale (critère de Muckenhoupt). Une condition suffisante plus facile à manipuler est déduite et étendue à toutes les dimensions en utilisant une correspondance isométrique entre les équations de Fokker-Planck et de Schrödinger. Cette condition implique que |∇F|² (x) − ∆F(x) ≥ b > 0 pour tout |x| assez grand. La constante obtenue (CLP) est discutée, et bien qu'elle dépende de plusieurs paramètres (contrairement à l'approche Meyn-Tweedie), l'article souligne que la constante non explicite dans l'approche Meyn-Tweedie dépend également de ces mêmes quantités. L'article mentionne également le Théorème 3.1 de [25] qui établit une inégalité de Poincaré faible en supposant l'existence d'une suite exhaustive d'ensembles Un sur lesquels µ satisfait une inégalité de Poincaré locale. Ici, un seul ensemble U (suffisamment grand) est nécessaire.

La section explore l'utilisation d'inégalités de Poincaré locales pour obtenir des résultats de convergence. Elle présente un exemple illustrant comment l'existence d'une fonction de Lyapunov, combinée à une inégalité de Poincaré locale, permet de déduire une inégalité de Lyapunov-Poincaré. Dans le cas symétrique, cela implique une inégalité de Poincaré sur toute l'espace. La difficulté de comparer de manière générale l'inégalité de Poincaré faible obtenue avec celle du Théorème 2.1 est soulignée. La section propose ensuite une comparaison plus précise sur des exemples spécifiques. Le choix de la fonction V = e^(aF) n'est pas nécessairement optimal. Pour le cas gaussien (F(x) = |x|²), une meilleure fonction Lyapunov est V(x) = 1 + a|x|², lié à des conditions suffisantes pour l'inégalité de Sobolev logarithmique de Gross. De même, pour F(x) = |x|p (1 < p < 2), V(x) = exp(a|x|^(2-p)) est une meilleure option. Ceci suggère que le meilleur choix pour la fonction de Lyapunov est lié à l'inégalité de Sobolev-F satisfaite par µ. La section explore ensuite les lois sous-exponentielles et comment elles s'inscrivent dans le cadre de la section 3.3, et comment les résultats obtenus améliorent ceux de [25].

Cette section met l'accent sur l'importance des inégalités de Poincaré locales pour obtenir des résultats sur le taux de convergence vers l'équilibre. Le document explique que l'utilisation d'inégalités de Poincaré locales permet d'affiner l'analyse, notamment en évitant les hypothèses trop restrictives sur l'espace entier. Il souligne le fait que le Théorème 3.6, par exemple, nécessite une inégalité de Poincaré locale, et donc n'est pas adapté à toutes les situations. En revanche, la méthode décrite dans la section 2 fournit une décroissance exponentielle de la variance, contrôlée par une norme Lp. La discussion met en lumière le lien entre les propriétés locales de la mesure et le comportement global du processus. L'utilisation d'inégalités locales permet de traiter des cas plus généraux, où des inégalités globales ne seraient pas vérifiées. L'article souligne la nécessité d'une théorie plus complète des inégalités de Sobolev locales, en particulier pour remplacer les inégalités de Poincaré locales par une version plus générale. Cependant, l'étude se concentre sur un exemple type pour illustrer les résultats possibles, en précisant que la mesure de Lebesgue vérifie des inégalités de Sobolev logarithmiques sur des intervalles bornés.

Cette partie illustre l'application des résultats théoriques à des exemples concrets. Les lois sous-exponentielles, définies par µp(dx) = Cp e⁻²|x|p dx (0 < p < 1), servent d'illustration. Pour la dimension 1, une inégalité de Poincaré faible est vérifiée avec une fonction βp(s) précise. Ce résultat ne s'étend pas directement aux dimensions supérieures. Cependant, l'étude fournit une fonction βp(s) valide pour toutes les dimensions, améliorant les résultats de [25] en dimension 1. L'article explique comment ces lois sous-exponentielles s'inscrivent dans le cadre du paragraphe 3.3, avec une fonction V et η spécifiques. Le bon exposant (2/p)-2 pour βW est retrouvé, confirmant la décroissance sous-exponentielle en toute dimension. Le document souligne une concordance des résultats avec le Théorème 2.3 de [25]. De plus, le taux de convergence obtenu (ψ(t) = c1 e⁻c2 tp/(2-p)) est conforme aux résultats attendus. L'analyse s'étend ensuite aux cas plus généraux où F tend vers l'infini, et des résultats d'optimalité sont discutés, améliorant les résultats de [25]. L'étude aborde également les groupes de Lie unimodulaires connectés avec une croissance polynomiale du volume, pour lesquels des inégalités de Poincaré sont connues sur les boules métriques. L'article met en lumière comment les résultats obtenus s'appliquent dans ce contexte plus général.

Cette sous-section analyse le choix optimal de la fonction de Lyapunov, en soulignant que V = e^(aF) n'est pas toujours le meilleur choix. Pour le cas gaussien (F(x) = |x|²), une fonction de Lyapunov de la forme V(x) = 1 + a|x|² est préférable, et ce choix est lié à des conditions suffisantes pour l'inégalité de Sobolev logarithmique de Gross. De manière similaire, pour F(x) = |x|p (1 < p < 2), V(x) = exp(a|x|^(2-p)) est une meilleure option, ce qui suggère un lien entre le meilleur choix de fonction de Lyapunov et l'inégalité de Sobolev-F satisfaite par µ. L'article discute des lois sous-exponentielles (0 < p < 1) et fournit une fonction βW qui permet d'obtenir une décroissance sub-exponentielle en toute dimension. Les résultats obtenus améliorent ceux de [25] concernant les lois sous-exponentielles. Enfin, l'article mentionne comment les résultats s'appliquent à des potentiels F plus généraux allant vers l'infini à l'infini, et satisfaisant certaines conditions. La section précise que, pour imiter le Théorème 3.6, il faudrait introduire une version locale d'une nouvelle inégalité de Sobolev-Ψ. Au lieu de développer une théorie complète, l'article se concentre sur un exemple pour illustrer les résultats possibles. Il est mentionné que la mesure de Lebesgue satisfait des inégalités de Sobolev logarithmiques sur des intervalles bornés.

Cette section introduit le concept d'hypocoercivité dans le contexte des cas dégénérés, en utilisant la terminologie de Villani. Les résultats de la Proposition 3.3 et du Théorème 5.6 sont présentés comme des résultats hypocoercitifs. La Proposition 3.3 montre une propriété de coercivité dans la norme L²(Wµ), plus forte que la norme L²(µ), tandis que le Théorème 5.6 peut être interprété en termes de semi-distances. L'article mentionne l'étude de Villani des cas dégénérés, utilisant des inégalités fonctionnelles d'ordre supérieur rappelant le critère Γ2 pour l'inégalité de Sobolev logarithmique. Ces inégalités d'ordre supérieur permettent d'introduire les crochets de Lie des champs de vecteurs de diffusion avec le champ de vecteur de dérive, liés à des situations hypoelliptiques de type Hörmander. Une étude approfondie de la théorie spectrale des opérateurs hypoelliptiques est mentionnée, avec référence aux travaux de Hérau et Nier ([18]) utilisant le calcul pseudo-différentiel. L'article souligne que l'approche d'hypocoercivité de Villani utilise de manière essentielle l'inégalité de Poincaré classique, fournissant uniquement des résultats de décroissance exponentielle.

L'équation de Fokker-Planck cinétique est présentée comme un exemple de cas dégénéré. L'article rappelle sa définition : un système différentiel stochastique sur R²d (position x et vitesse v) impliquant une fonction F lisse sur Rd. L'existence d'une fonction de Lyapunov, qui ne dépend pas directement de la non-dégénérescence, rend l'étude des cas dégénérés pertinente. L'inadéquation du Théorème 3.6 (nécessitant une inégalité de Poincaré locale) et la méthode de la section 2 (fournissant une décroissance exponentielle de la variance contrôlée par une norme Lp) sont mentionnées. L'article rappelle les résultats de Villani ([30]) pour l'équation de Fokker-Planck cinétique, montrant une décroissance avec une constante C > 1 (l'inégalité de Poincaré n'étant pas vérifiée si C ≤ 1), et une courbure de Bakry-Emery égale à −∞. Les conditions suffisantes de Wu ([35]) pour l'existence d'une fonction de Lyapunov pour ce modèle sont rappelées et étendues. L'objectif est de montrer comment ce modèle s'inscrit dans le cadre de l'approche Meyn-Tweedie.

Cette sous-section se concentre sur l'existence de fonctions de Lyapunov pour l'équation de Fokker-Planck cinétique et les implications sur le taux de convergence. L'article utilise les travaux de Wu ([35]) et montre comment construire une fonction de Lyapunov pour ce modèle, même dans les cas dégénérés. L'existence d'une fonction de Lyapunov, même avec des paramètres a et b arbitrairement petits, est démontrée, sous certaines conditions d'intégrabilité. En appliquant le Théorème 2.1, une décroissance sous-exponentielle est obtenue dans des situations où aucune décroissance exponentielle n'est connue. Les travaux de [9] concernant la décroissance polynomiale sont mentionnés. L'article souligne que l'approche de Villani, utilisant l'inégalité de Poincaré classique, ne donne que des résultats de décroissance exponentielle. Des exemples de fonctions de Lyapunov pour ce modèle cinétique sont donnés ([9], section 4.3), en considérant des potentiels F(x) ∼ |x|p avec 0 < p < 1. Une fonction G lisse est introduite, avec ∇G(x) = |x|m (1 − p < m ≤ 1), et des conditions pour obtenir une fonction de Lyapunov φ sont détaillées. Ceci permet d'obtenir une décroissance sous-exponentielle même en absence de décroissance exponentielle.