Principe d'Averaging pour les Processus de Diffusion via les Formes de Dirichlet

L'article se concentre sur l'étude de processus de diffusion en dimension finie, pilotés par un mouvement brownien avec un drift régulier. Ce drift présente une particularité cruciale : il est composé de deux parties agissant à des échelles de temps distinctes. On trouve une composante conservative rapide et une composante dissipative lente. L'objectif est d'analyser le comportement de ces processus, en particulier lorsque la composante conservative est accélérée. L'étude met en lumière le principe d'averaging, un concept essentiel pour comprendre le comportement macroscopique de systèmes complexes. L'approche novatrice de l'article repose sur l'utilisation de la théorie des formes de Dirichlet, un outil puissant pour l'analyse de processus stochastiques. Cette approche permet d'obtenir des preuves plus simples et des interprétations plus claires du principe d'averaging, ouvrant la voie à des résultats plus généraux que ceux obtenus par des méthodes classiques comme l'approche basée sur le problème des martingales utilisée par Freidlin et Wentzell. Le résultat principal vise à caractériser un processus effectif, dont les valeurs résident dans l'espace des ensembles de niveaux connexes des quantités conservées. La convergence en loi de ce processus est démontrée.

Le cœur de la méthodologie repose sur l'emploi de formes de Dirichlet, notamment non-symétriques, et la notion de convergence de Mosco. Cette approche permet de traiter le problème du principe d'averaging de manière élégante et efficace. La convergence de Mosco assure la convergence des résolvantes et des semi-groupes associés aux formes de Dirichlet, ce qui, d'un point de vue probabiliste, implique la convergence des marginales finies dimensionnelles du processus. Couplée à la preuve de la tension des lois du processus, la convergence de Mosco garantit la convergence en loi du processus. Bien que l'approche par formes de Dirichlet fournisse une description indirecte du processus limite (ou de son générateur infinitésimal), l'utilisation de la formule de coaire permet de récupérer le générateur et son domaine, offrant une description complète du processus. Les auteurs s'appuient sur des travaux antérieurs de Hino, Tolle, Kolesnikov, Kuwae et Shioya, notamment sur la convergence de formes de Dirichlet non-symétriques et les structures spectrales associées (semi-groupes, résolvantes, générateurs). L’ouvrage de Ma et Röckner sur les formes de Dirichlet (symétriques et non symétriques) sert de référence théorique importante.

Le cas bidimensionnel est traité en détail, en introduisant des hypothèses spécifiques sur le champ de vecteur e et le Hamiltonien H. L'espace d'état est transformé en un espace d'orbites Γ, représenté par un graphe dont les sommets correspondent aux points stationnaires du Hamiltonien et les arêtes aux ensembles de niveaux connexes. La construction de la forme de Dirichlet Eα et l'analyse de ses propriétés (coercivité, fermeture) sont expliquées. L’espace Γ est crucial car il permet de projeter le processus initial sur un espace plus maniable, facilitant l’analyse de la convergence. La preuve de la convergence en loi du processus projeté repose sur la convergence de Mosco des formes de Dirichlet Eα vers une forme limite E, et sur l'utilisation de résultats de tension. Des conditions spécifiques, liées à la divergence du champ de vecteur, sont imposées pour assurer le caractère positif de la forme bilinéaire associée.

Le calcul du générateur infinitésimal du processus limite sur Γ est une étape clé. Ce calcul permet de caractériser le comportement du processus sur les arêtes du graphe (diffusion classique) et aux sommets (conditions de recollement). Ces conditions de recollement, déduites du domaine du générateur infinitésimal, définissent le comportement du processus lorsqu'il atteint un sommet du graphe. L’analyse s’appuie sur la formule de coaire et utilise des résultats connus sur les diffusions unidimensionnelles (Feller, Mandl). Les auteurs mentionnent également les travaux de Kant, Klauss, Voigt et Weber sur les formes de Dirichlet pour les opérateurs singuliers et sur les graphes, et ceux de Kostrykin, Potthoff et Schrader, mettant en évidence le lien avec la littérature existante. La construction de la mesure de référence µ est discutée, mettant l'accent sur son rôle dans la définition de la forme de Dirichlet et son invariance par le flot accéléré.

La dernière section généralise les résultats aux diffusions de dimension supérieure. L'analyse se concentre sur l'existence d'intégrales premières pour le champ de vecteur v du drift. L'espace d'orbites Γ est maintenant une collection de sous-variétés de R^m, structurée par leur dimension et leurs relations de bord. La convergence en loi du processus projeté est démontrée. Le calcul du générateur infinitésimal du processus limite dans ce contexte plus général est esquissé, soulignant la complexité accrue due à la structure de l'espace d'orbites Γ. La formule de coaire est essentielle pour effectuer ce calcul dans le cas général. L'article conclut en indiquant comment les conditions de recollement peuvent être obtenues en collectant les termes de bord le long de chaque sous-variété. Des références bibliographiques complètent l'article, notamment sur les grandes déviations pour les processus de diffusion sur les graphes (Freidlin et Sheu) et sur les perturbations aléatoires des systèmes dynamiques (Freidlin et Weber).

Cette section détaille les propriétés du processus de diffusion étudié dans le cas bidimensionnel. L'article commence par énoncer les hypothèses cruciales. Le champ de vecteur e est supposé de classe C¹, borné. Le Hamiltonien H est de classe C², borné inférieurement, et possède des ensembles de niveaux compacts avec des dérivées secondes bornées. Ces hypothèses garantissent l'existence d'une solution à l'équation différentielle stochastique (EDS) considérée. La borne sur les dérivées secondes de H est une hypothèse technique qui simplifie la preuve de la tension du processus, un élément essentiel pour démontrer la convergence en loi. De plus, ces hypothèses permettent d'étendre la forme bilinéaire Eα en une forme de Dirichlet. La condition que h soit constante sur les ensembles de niveaux connexes assure que la partie symétrique ne dépend pas de α. Enfin, la forme symétrique Eαs,1 est équivalente à la norme H¹(µ), grâce à l'hypothèse de bornitude de F et de sa h-divergence. La régularité et la propriété locale de la forme de Dirichlet sont également discutées.

La construction de l'espace d'état, l'espace des orbites Γ, est une étape essentielle. Dans le cas bidimensionnel, Γ est défini comme un graphe. Les sommets de ce graphe correspondent aux points stationnaires du Hamiltonien H, tandis que les arêtes représentent les ensembles de niveaux connexes de H ne contenant pas de points stationnaires. Chaque point x de l'espace d'état initial est associé à son ensemble de niveau connexe C(x). L'espace Γ est obtenu en considérant les ensembles de niveaux connexes comme classes d'équivalence, définissant ainsi une relation d'équivalence ∼ sur R². La construction d'une bijection entre R²/∼ et Γ est expliquée, démontrant la correspondance entre les ensembles de niveaux connexes et les éléments du graphe. Il est mentionné que dans ce cas bidimensionnel, Γ est un arbre (sans cycle), ce qui simplifie l'analyse. Des exemples illustrant la structure de Γ sont donnés. L’espace Γ est fondamental car il représente l'espace d'état du processus limite.

Cette partie détaille la construction de la forme de Dirichlet Eα, associée au générateur infinitésimal Lα de la diffusion. La forme est définie dans L²(µ), où µ est une mesure de référence. La discussion porte sur les conditions sur µ assurant que Eα est une forme de Dirichlet bien définie, caractérisant complètement le générateur infinitésimal Lα. La forme de Dirichlet projetée E est ensuite construite en restreignant l'ensemble des fonctions test à celles qui sont constantes sur les ensembles de niveaux connexes de H. Ceci est formalisé en considérant les ensembles de niveaux connexes comme classes d'équivalence. Des propriétés importantes de Eα, telles que la coercivité et la fermeturé, sont établies sous les hypothèses définies précédemment. Il est démontré que la partie symétrique de Eα ne dépend pas de α, ce qui est crucial pour la démonstration de la convergence. La relation entre Eα et la norme H¹(µ) est également mise en avant, illustrant le lien avec l'espace de Sobolev.

Cette section est consacrée au calcul explicite du générateur infinitésimal du processus limite. Le but est de passer d'une description abstraite du processus, via la forme de Dirichlet limite E, à une description plus concrète et intuitive. Pour ce faire, les auteurs utilisent la formule de coaire. Le générateur infinitésimal est décomposé en deux parties : une partie agissant sur les arêtes du graphe Γ et une partie décrivant les conditions de recollement aux sommets. Sur chaque arête, le processus limite se comporte comme une diffusion classique dont les coefficients (drift et diffusion) sont explicitement calculés. Aux sommets du graphe, qui représentent les ensembles de niveaux connexes du Hamiltonien contenant des points stationnaires, des conditions de recollement interviennent. Ces conditions, qui sont des restrictions sur le domaine de l'opérateur, régissent le comportement du processus lorsqu'il atteint un sommet. Le calcul repose sur une compréhension fine de l'espace Γ, plus aisée en dimension 2, mais plus complexe en dimensions supérieures. La détermination précise de ces coefficients nécessite une analyse détaillée, qui est menée pour le cas bidimensionnel, notamment en utilisant des résultats de la théorie des diffusions unidimensionnelles (Feller, Mandl).

L'analyse du comportement du processus limite sur l'espace d'états Γ, représenté par un graphe, révèle des caractéristiques intéressantes. Sur chaque arête du graphe, le processus est une diffusion continue dont les caractéristiques (coefficients de drift et de diffusion) sont déterminées par un processus d'averaging le long des ensembles de niveaux connexes du Hamiltonien. Cependant, le comportement aux sommets du graphe nécessite une attention particulière. L'article identifie deux questions cruciales concernant le comportement au niveau des sommets : l'accessibilité du sommet (depuis quelles arêtes ?) et le comportement du processus lorsqu'il atteint un sommet (quelles sont les conditions de recollement ?). Les conditions de recollement sont analysées, résultant en des restrictions sur le domaine de l'opérateur et donc sur le comportement du processus. L'étude s'appuie sur des travaux antérieurs sur les diffusions unidimensionnelles (Feller, Mandl) et les formes de Dirichlet pour des opérateurs singuliers et sur des graphes (Kant, Klauss, Voigt, Weber; Kostrykin, Potthoff et Schrader). La construction d'une mesure invariante sur Γ est discutée, en mettant en évidence la possibilité de construire une mesure invariante sur l'espace Γ en combinant des mesures invariantes sur chaque arête, pour ensuite la relever sur R².

Cette section étend les résultats obtenus précédemment au cas de diffusions de dimension arbitraire. Le processus est toujours défini par une équation différentielle stochastique (EDS) avec un drift à deux échelles de temps, mais sans l'hypothèse d'un Hamiltonien. À la place, on suppose l'existence de m intégrales premières G = (G₁, ..., G_m) pour le flot défini par le champ de vecteur v du drift. L’objectif est d’étudier la convergence en loi du processus G(Y ) lorsque le paramètre α tend vers 0. Une mesure de référence dµ = hdx est définie, où h est une fonction de densité satisfaisant des conditions spécifiques pour assurer que µ est une mesure supermédiane (relative au générateur infinitésimal de la diffusion). Ces conditions garantissent l'existence d'une solution forte à l'EDS et permettent de définir une forme de Dirichlet appropriée. Les hypothèses sur v, u et σ assurent l’existence d’une solution forte à l’équation différentielle stochastique. L'hypothèse d'existence d'intégrales premières pour le flot de v est cruciale pour la généralisation du problème.

L'espace d'orbites Γ est généralisé pour les dimensions supérieures. Contrairement au cas bidimensionnel où Γ est un graphe, en dimension supérieure, Γ est décomposé en plusieurs sous-variétés connexes de R^m. Cette décomposition repose sur le rang minimal du Jacobien JG le long d'un ensemble de niveau connexe de G. Le rang détermine la dimension de la sous-variété. Les sous-variétés de dimension supérieure à un possèdent un bord constitué d'une union de sous-variétés de dimension inférieure. Γ est décrit par cette collection de sous-variétés ordonnées selon leurs dimensions et les relations décrivant leurs bords. Cette structure plus complexe de Γ rend l'analyse du processus limite plus difficile. L'espace Γ reste l’espace quotient pour la relation d'équivalence définie par les ensembles de niveaux connexes de G.

La convergence en loi du processus projeté Zαn = π(Yαn) vers un processus limite Z est démontrée, en utilisant une approche similaire au cas bidimensionnel, basée sur la convergence de Mosco. Le processus limite Z est défini via la forme de Dirichlet limite E. Pour obtenir une représentation plus intuitive de Z, par exemple sous forme d'équation de diffusion stochastique ou via son générateur infinitésimal, il faut exprimer la forme de Dirichlet comme un produit scalaire dans L²(Γ). Cela nécessite l'utilisation de la formule de coaire, adaptée pour les sous-variétés de dimensions inférieures à m. Le calcul des termes de bord le long de chaque sous-variété conduit à des conditions de recollement, similaires au cas bidimensionnel. Ces conditions relient la valeur du générateur restreint à une sous-variété aux valeurs limites du générateur au bord des sous-variétés de dimension supérieure. Le Théorème 5.5 formalise la convergence en loi.