Études des solutions de quelques équations aux dérivées partielles non linéaires via l’indice de Morse

La première partie de la thèse s'intéresse à l'estimation de la norme L∞ des solutions de l'équation elliptique non linéaire -∆u = f(u) avec u = 0 sur le bord, en utilisant l'indice de Morse. L'auteur explore les solutions stables, caractérisées par un indice de Morse nul, et établit des estimations explicites pour la norme L∞ de ces solutions sous des hypothèses surlinéaires et sous-critiques sur la fonction f. Cette étude se distingue du travail précédent de Yang [1998] en proposant une approche plus transparente et plus souple, permettant de traiter des non-linéarités très proches de la croissance critique. Les résultats obtenus ouvrent la voie à l'étude d'équations polyharmoniques (−∆)ku = f(x, u) avec des valeurs particulières de k, notamment k = 2 et 3. Pour la première fois, la thèse propose des estimations explicites de solutions d'équations polyharmoniques en utilisant l'indice de Morse sous des hypothèses similaires à celles de Yang [1998] sur la fonction f et des conditions au bord appropriées.

Cette partie de la thèse se révèle particulièrement importante car elle apporte une nouvelle perspective sur l'étude des solutions d'équations aux dérivées partielles non linéaires. La méthode développée, fondée sur l'indice de Morse, offre un outil précieux pour la compréhension et la caractérisation des solutions stables. De plus, l'extension aux équations polyharmoniques ouvre de nouvelles perspectives pour la résolution de problèmes plus complexes en physique et en ingénierie.

La deuxième partie de la thèse se concentre sur l'étude du système de Lane-Emden suivant : −∆u = ρ(x)v^p, −∆v = ρ(x)u^θ, u, v > 0 dans R^N, où 1 < p ≤ θ et ρ est un poids radial strictement positif. L'auteur s'intéresse à la non-existence de solutions stables pour ce système en petites dimensions N. En s'appuyant sur l'identité de Pohozaev et des arguments de type Liouville, la thèse établit des résultats de non-existence de solutions stables pour des valeurs spécifiques de p et θ, améliorant les travaux antérieurs de Cowan & Fazly [2012], Fazly [2012] et Hu [2015]. En particulier, la thèse démontre la non-existence de solutions stables en petites dimensions N pour tout 1 < p ≤ min(4/3, θ), ce qui constitue un résultat significatif du type Liouville.

Cette partie de la thèse est importante car elle fournit des résultats fondamentaux sur la non-existence de solutions stables pour un système de Lane-Emden. Ces résultats ont des implications directes dans l'étude de phénomènes physiques et mathématiques, notamment dans le domaine de l'astrophysique et de la théorie des équations aux dérivées partielles. La démonstration de la non-existence de solutions stables en petites dimensions ouvre la voie à la compréhension plus approfondie du comportement des solutions de ce type de système.