Simulation Numérique de l'Écoulement Bidimensionnel de Glace Polaire

L'étude débute par l'identification d'une difficulté majeure dans la description du comportement mécanique de la glace polaire : la prise en compte de sa loi constitutive dans les modèles d'écoulement. La majorité des modèles actuels simplifient le problème en considérant la glace comme isotrope, une approximation similaire à celle utilisée pour les glaciers alpins. Cependant, des analyses de carottes de glace prélevées en Antarctique et au Groenland révèlent une réalité plus complexe. Sous de très faibles contraintes déviatoires, la glace polaire acquiert une fabrique, c'est-à-dire une orientation préférentielle des grains cristallins, ce qui la rend anisotrope. Cette anisotropie, loin d'être négligeable, pose un défi considérable pour la modélisation précise des écoulements glaciaires. Pour une meilleure compréhension des interactions entre le climat et les calottes polaires, il est nécessaire d'intégrer des modèles couplés, tels qu'un modèle de circulation atmosphérique globale, un modèle de variation du niveau des mers, et un modèle d'isostasie. La complexité de ce système souligne la nécessité d'utiliser un modèle de calotte polaire considéré comme un outil robuste et efficace, plutôt qu'un prototype délicat, minimisant ainsi le temps de calcul. Le choix du modèle est donc crucial pour la précision et l'efficacité des simulations.

Étant donné la complexité du modèle auto-cohérent de Castelnau (1996), malgré son efficacité à décrire le comportement de la glace anisotrope, un modèle plus simple a été privilégié : le modèle à contraintes homogènes (modèle statique). Ce choix est motivé par la nécessité de réduire les temps de calcul et de simplifier le formalisme sans compromettre la précision des résultats. Contrairement aux modèles à contraintes homogènes décrivant la fabrique par des grains discrets (Chastel et al., 1993), le modèle adopté utilise une fonction continue pour représenter la fabrique, dépendant de seulement quelques paramètres. L'objectif principal du travail présenté est de créer un modèle du comportement de la glace polaire anisotrope et de l’évolution de sa texture. Ce modèle devra être utilisable dans un code de calcul d'écoulement et d'évolution de calotte polaire, conçu comme un outil pratique, minimisant ainsi la quantité d'information nécessaire au traitement de l'anisotropie. La simplicité du modèle est donc un facteur déterminant pour sa faisabilité et son applicabilité.

L'analyse se penche sur la structure cristalline de la glace Ih, où l'arrangement tripériodique des atomes d'oxygène est perturbé par des dislocations linéaires. L'observation par topographie aux rayons X révèle que la plupart des dislocations sont contenues dans le plan de base, soit parallèles au vecteur de Burgers (dislocations vis), soit à 60° (dislocations 60°), selon Petrenko et Whitworth (1994). Des calculs énergétiques montrent que la majorité des dislocations sont basales et de type vis, sans glissement sur les plans non basaux. Cette caractéristique confère au monocristal de glace un comportement viscoplastique fortement anisotrope. Au-delà des défauts classiques des réseaux cristallins (ponctuels ou linéaires), la glace Ih présente des défauts de position des protons, violant les règles de Bernal et Fowler (1933). Ces défauts, ioniques (OH- et H3O+) ou rotationnels de Bjerrum (L et D), influencent le comportement mécanique de la glace. La mobilité des dislocations est un facteur clé de l'anisotropie, impactant la vitesse de déformation en fonction de la contrainte. Des études expérimentales (Pimienta, 1987; Lliboutry et Duval, 1985; Doake et Wolff, 1985; Lipenkov et al., 1997) ont permis d'établir des relations entre la contrainte et la vitesse de déformation, confirmant un comportement anisotrope.

La texture de la glace est déterminée par l'observation de lames minces en lumière polarisée. Pour la carotte de GRIP (Groenland), on observe en moyenne 100 à 200 grains par lame mince (Thorsteinsson et al., 1997). L'orientation de l'axe -c de chaque cristal est déterminée par ses positions d'extinction. La projection de Schmidt est utilisée pour représenter la fabrique sur des figures de pôles, permettant une quantification précise du niveau de concentration de la fabrique. La taille des grains peut être prise en compte en attribuant plusieurs points aux grains plus grands ou en utilisant des cercles dont la surface est proportionnelle à la taille du grain. L'étude des phases de fluage (secondaire et tertiaire) est abordée, en particulier le fluage tertiaire caractérisé par la recristallisation dynamique et l'apparition de fabriques à plusieurs maxima. Ce phénomène est particulièrement observé dans une troisième zone proche du lit rocheux, où les températures sont plus élevées (T > -10°C) et où la recristallisation discontinue crée de nouvelles fabriques. L'exposant n dans la loi de Glen est ajusté pour refléter le comportement de la glace dans différentes zones. Le modèle phénoménologique de Morland et Staroszczyk (1998), basé sur les théorèmes de représentation des fonctions tensorielles objectives, propose une description de l'anisotropie orthotrope, conservée au cours de la déformation. Ce modèle macroscopique est facile à intégrer dans un modèle d'écoulement de calotte polaire.

Le choix du modèle d'écoulement est crucial pour la simulation. Le document compare le modèle auto-cohérent, développé par Castelnau (1996), et le modèle à contraintes homogènes (statique). Bien que le modèle auto-cohérent soit efficace pour décrire le comportement de la glace anisotrope, sa complexité et les longs temps de calcul l'ont rendu inapproprié pour ce travail. Le modèle à contraintes homogènes, beaucoup plus simple, a été retenu en raison de son formalisme plus accessible et sa capacité à fournir de bons résultats, comme démontré par Castelnau (1996). Une différence notable réside dans la description de la fabrique : le modèle à contraintes homogènes la décrit par une fonction continue, dépendant de quelques paramètres seulement, contrairement à d'autres modèles utilisant des grains discrets (Chastel et al., 1993). Ce choix de simplification permet de réduire considérablement la complexité du calcul et le temps de traitement tout en conservant une bonne représentation du comportement de la glace anisotrope. La simplicité du modèle est essentielle pour son utilisation comme outil de simulation numérique.

L'étude détaille la loi de comportement de la glace, se focalisant sur le phénomène de fluage. La loi de Glen est utilisée pour représenter ce comportement, avec des ajustements spécifiques pour les phases de fluage secondaire et tertiaire. La phase de fluage tertiaire, marquée par une augmentation des vitesses de déformation, est expliquée par des mécanismes de recristallisation dynamique (recristallisation discontinue ou migration-recristallisation, Duval et Castelnau (1995)). Durant cette phase, les grains mal orientés sont remplacés par de nouveaux grains mieux orientés, conduisant à une orientation préférentielle des axes -c avec plusieurs maxima (Duval, 1981; Lliboutry et Duval, 1985). La loi de Glen reste applicable, mais avec des valeurs du paramètre Bn deux à trois fois supérieures à celles du fluage secondaire. Meyssonnier (1989) propose une valeur de B3 (-10°C) = 70 MPa-3 a-1 pour décrire le fluage tertiaire. Le document discute également d'une zone proche du lit rocheux, caractérisée par des variations de contraintes importantes et des températures élevées (T > -10°C). Ces conditions favorisent une recristallisation discontinue, conduisant à des fabriques à plusieurs maxima, comme observé dans le forage GRIP (Groenland) en dessous de 2800m (Thorsteinsson et al., 1997). Cependant, cette observation n'est pas systématique (Alley, 1992).

Le document examine également des modèles phénoménologiques, tels que celui de Morland et Staroszczyk (1998), qui propose une description du comportement et de l'évolution de la texture de la glace basée sur les théorèmes de représentation des fonctions tensorielles objectives (Boehler, 1978). Ce modèle se concentre sur l'orthotropie, en supposant une conservation de cette propriété au cours de la déformation. La contrainte déviatoire est exprimée en fonction de la vitesse de déformation actuelle, de la déformation et de trois tenseurs de structure. Dans sa forme la plus simple, le modèle dépend d'une seule fonction de la déformation pour décrire l'évolution de l'anisotropie. Cette fonction est calibrée sur des résultats d'essais mécaniques (Staroszczyk et Morland, 2000) ou à l'aide de modèles plus physiques (Staroszczyk et Gagliardini, 1999). L'avantage principal de ce modèle réside dans sa formulation macroscopique, facilitant son intégration dans un modèle d'écoulement de calotte polaire. Des comparaisons avec d'autres modèles, notamment le modèle auto-cohérent, sont réalisées pour différentes sollicitations (Castelnau et al., 1996b), soulignant les différences de comportement et la complexité de représenter l'anisotropie de manière précise.

L'analyse de la fabrique glaciaire est primordiale pour la modélisation de l'écoulement. La caractérisation se fait par l'observation de lames minces de carottes de glace en lumière polarisée. Pour le forage GRIP au Groenland, Thorsteinsson et al. (1997) ont observé en moyenne des sections de 100 à 200 grains par lame mince. L'orientation de l'axe -c de chaque cristal est déterminée par ses positions d'extinction. La projection de Schmidt, une méthode conventionnelle, permet de représenter la fabrique sur des figures de pôles, en conservant les surfaces et en fournissant une représentation précise du niveau de concentration des fabriques. Chaque grain est visualisé par un point, la projection de l'intersection entre la demi-sphère unité et l'axe -c du grain. La taille des grains peut être prise en compte en ajoutant des points multiples aux gros grains, ou en remplaçant le point par un cercle dont la surface est proportionnelle à la taille du grain. Cette méthode permet une description quantitative de la fabrique, essentielle pour la validation et l'amélioration des modèles numériques.

Deux méthodes principales sont comparées pour la représentation de la fabrique : l'approche par grains discrets et l'utilisation de la fonction de distribution d'orientation (ODF). La première méthode représente la texture par l'ensemble des orientations d'un nombre fini de grains discrets constituant le polycristal. La seconde utilise une fonction continue (ODF) pour donner la densité relative des grains pour chaque orientation. Pour les chargements préservant les symétries d'orthotropie du matériau, une expression analytique de l'évolution de l'ODF peut être obtenue lorsque le comportement du cristal est linéaire. Cette formulation analytique prédit des fabriques en accord avec celles attendues pour des chargements simples comme la compression, la traction, ou le cisaillement pur. A partir de cette expression analytique, une ODF paramétrée (3.34) est déduite, dépendant de seulement trois paramètres. Cette forme paramétrée est particulièrement adaptée à la description des fabriques observées dans les calottes polaires, offrant une description plus concise et efficace que la méthode des grains discrets tout en préservant une bonne précision.

La résolution numérique de l'écoulement et de l'évolution de la fabrique repose sur des méthodes appropriées. La méthode des éléments finis est utilisée pour résoudre l'équation de l'équilibre pour une fabrique donnée. Pour l'évolution de la fabrique pour un écoulement donné, la méthode des lignes de courant est employée. L'étude adopte une géométrie simplifiée bidimensionnelle de calotte polaire, en déformations planes ou axisymétriques. L’influence du maillage sur la stabilité du calcul est soulignée, avec une attention particulière à la progression de la taille des éléments selon la verticale. Une géométrie d'éléments allongés est justifiée, compte tenu des gradients verticaux et horizontaux des différentes quantités interpolées, permettant de réduire le temps de calcul tout en préservant la précision. L’influence de l'anisotropie, de la température, du comportement du grain, et du type d'écoulement (plan ou axisymétrique) sur l'écoulement à l'échelle de la calotte polaire sont quantifiées. L'hypothèse de l'évolution des paramètres ki en fonction uniquement de la hauteur réduite est discutée en lien avec les données du forage GRIP, reconnaissant ses limites et son utilité pour une première quantification de l'influence de l'anisotropie.

L'étude applique le modèle développé à la simulation de l'écoulement de glace anisotrope dans une géométrie simplifiée bidimensionnelle de calotte polaire. Des configurations géométriques simples sont considérées (écoulement plan ou axisymétrique, socle fixe) avec des conditions aux limites fixées. L'influence des champs de température et de fabrique sur l'écoulement à l'échelle de la calotte polaire est quantifiée. L'utilisation de la méthode des éléments finis permet de résoudre l'équation de l'équilibre pour une fabrique donnée, tandis que la méthode des lignes de courant est utilisée pour simuler l'évolution de la fabrique. L'analyse explore l'influence du comportement du grain (paramètres β et γ) et du type d'écoulement (plan ou axisymétrique) sur les résultats. L'objectif est de quantifier l'impact de l'anisotropie de la glace sur les vitesses d'écoulement et de montrer la pertinence d'inclure ce paramètre dans les modèles glaciologiques. L’utilisation d’éléments allongés est justifiée pour optimiser le temps de calcul, compte tenu de la variation des quantités interpolées selon les directions horizontale et verticale.

Une analyse détaillée examine l'influence des champs de température et de fabrique sur les profils de vitesse. Une comparaison est effectuée entre un écoulement avec un champ de températures variable (similaire à celui observé à GRIP) et un écoulement isotherme. Les résultats montrent que le champ de températures variable, tel que celui de GRIP, intensifie l'effet de l'anisotropie en concentrant la déformation dans les zones profondes plus chaudes où la fabrique est plus concentrée. De même, l'impact du champ de fabriques « GRIP » sur la forme des profils verticaux de vitesses est étudié. L'analyse révèle que, au voisinage du lit rocheux, le gradient de déformation horizontale est plus important avec le champ de fabriques « GRIP » qu'avec un champ isotrope. La glace profonde est ainsi plus facile à cisailler que la glace de surface, ce qui est mis en évidence par la différence entre les courbes obtenues pour la glace isotrope et anisotrope. Cette différence souligne l'importance de considérer le champ de fabrique pour une représentation précise de l'écoulement glaciaire.

L'application du modèle permet d'aborder la question de la datation de la glace. En utilisant les données des forages de GRIP et GISP2 au Groenland, le modèle est utilisé pour prédire l'âge de la glace en fonction de la profondeur. Les résultats montrent une bonne concordance avec les données observées jusqu'à une certaine profondeur, notamment pour le forage GRIP jusqu'à 1753.4 m. Cependant, pour des profondeurs supérieures, les âges prédits par le modèle sont plus jeunes que ceux obtenus par des méthodes de datation indépendantes (Johnsen et al., 1992; Meese et al., 1997). Cette différence est discutée, en soulignant que le modèle suppose une évolution continue des propriétés du matériau (fabrique et température) en fonction de la profondeur, contrairement à la réalité où des changements plus brutaux peuvent se produire, comme la transition Holocene-Wisconsin observée à 1650 m de profondeur dans le forage GRIP. L'application couplée du modèle le long de la ligne d'écoulement de GRIP à GISP2 démontre son efficacité et sa rapidité, le rendant applicable à l'échelle d'une calotte polaire. L'évolution de la fabrique prédite est plus proche des observations de GRIP que celle obtenue avec un modèle simplifiant la déformation à une simple compression verticale.